정적분으로 정의된 함수&미분계수와 접선의 기울기&함수의 연속_난이도 상

이 문제는 네이버 아이디 110615 님께서 출제하신 문제입니다. 110615님의 허락을 얻어 해설 영상을 올립니다. 해설 영상의 공유를 허락해주신 110615님께 감사의 말씀을 전합니다.

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함수 $f(x)=-4x^3 + 6x -1$ 과 모든 실수 $m$ 에 대하여 방정식 $\displaystyle \int_0^x f(t)\; dt=mx$ 를 만족시키는 $x$ 의 최솟값과 최댓값을 각각 $g_1(m), \; g_2(m)$ 이라 하고, $g_1(m)<c<g_2(m)+1$ 일 때, $$\dfrac{\displaystyle \int_0^{g_2(m)} f(t) \; dt - \int_0^{g_1(m)} f(t) \; dt}{g_2(m)-g_1(m)} = f(c)$$ 을 만족시키는 서로 다른 모든 실수 $c$ 의 개수를 $h(m)$ 이라 하자. 함수 $h(m)$ 이 $m=k$ 에서 불연속인 모든 실수 $k$ 의 값의 합은 $\sqrt{a}-b$ 이다. $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 자연수이다.)

정답 $80$