수악중독

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=2\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 원 \(O_1\) 과 반지름의 길이가 \(r\) 인 원 \(O_2\) 가 점 \(\rm B\) 에서 내접하고 있다. 점 \(\rm A\) 에서 원 \(O_2\) 에 그은 접선의 접점을 \(\rm P\) , 이 접선이 원 \(O_1\) 과 만나는 점 중 \(\rm A\) 가 아닌 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, \(\lim \limits_{r \to +0} \dfrac{\overline{\rm PQ}}{r}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(1\)

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{x\left( {x - 1} \right)}&{\left( {\left| x \right| > 1} \right)}\\{ - {x^2} + ax + b}&{\left( {\left| x \right| \le 1} \right)}\end{array}} \right.\) 가 모든 실수 \(x\) 에서 연속이 되도록 상수 \(a,\;b\) 의 값을 정할 때, \(a-b\) 의 값은? ① \(-3\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(3\) 정답 ①

실수 \(t\) 에 대하여 열린구간 \((t-1,\;t+1)\) 에서 함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}1&{\left( {x \ne 0} \right)}\\2&{\left( {x = 0} \right)}\end{array}} \right.\] 의 불연속인 점의 개수를 \(g(t)\) 라 하자. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=1\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 1-0} g(x) + \lim \limits_{x \to -1+0} g(x)=2\) ㄷ. 함수 \(\dfrac{g(x)}{f(x)}\) 는 \(x=0\) 에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

다음은 연속함수 \(y=f(x)\) 의 그래프와 이 그래프 위의 서로 다른 두 점 \({\rm P}(a,\;f(a)), \;\; {\rm Q}(b, \;f(b))\) 를 나타낸 것이다. 함수 \(F(x)\) 가 \(F'(x)=f(x)\) 를 만족시킬 때, 다음 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 함수 \(F(x)\) 는 구간 \([a,\;b]\) 에서 증가한다. ㄴ. \(\dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}\) 는 직선 \(\rm PQ\) 의 기울기와 같다. ㄷ. \(\displaystyle \int_{a}^{b} {f(x)-f(b)} dx \leq \dfrac{(b-a)\{ f(a)-f(b) \}}{2}\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

연속함수 \(y=f(x)\) 는 구간 \([a,\;t]\) 에서 \(f(x)>0\) 이다. 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(x\) 축 및 두 직선 \(x=a,\; x=t\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(t)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{t \to a} \dfrac{S(t)}{t-a}\) 의 값은? (단, \(a

곡선 \(y=6x^2+1\) 과 \(x\) 축 및 두 직선 \(x=1-h,\; x=1+h\;(h>0)\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(h)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{h \to +0} \dfrac{S(h)}{h}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(14\)

다항함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{\displaystyle \int_{1}^{x} f(t) dt-f(x)}{x^2-1}=2\) 를 만족할 때, \(f'(1)\) 의 값은? ① \(-4\) ② \(-3\) ③ \(-2\) ④ \(-1\) ⑤ \(0\) 정답 ①

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 \(\rm A(2,\;0), \; B(0,\;3)\) 을 지나는 직선과 곡선 \(y=ax^2 \;(a>0)\) 및 \(y\) 축으로 둘러싸인 부분 중에서 제\(1\)사분면에 있는 부분의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 또, 직선 \(AB\)와 곡선 \(y=ax^2\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. \(S_1 :S_2=13:3\) 일 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{9}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{4}{9}\) ④ \(\dfrac{5}{9}\) ⑤ \(\dfrac{2}{3}\) 정답 ②

그림과 같이 두 점 \(\rm P, \;Q\) 는 각각 \((2, \;0), \;(0, \;-1)\) 에서 동시에 출발하여 점 \(\rm P\) 는 매초 \(3\) 의 속도로 \(x\) 축의 양의 방향으로 움직이고, 점 \(\rm Q\) 는 매초 \(1\) 의 속도로 \(y\) 축의 양의 방향으로 움직이고 있다. 출발할 지 \(t\) 초 후의 위치를 각각 \(\rm P',\;Q'\) 라 하고 \(\triangle \rm OP'Q'\) 의 넓이는 \(S(t)\) 라 하자. \(\displaystyle \int_{0}^{2} S(t) dt = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p^2+q^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 소로소인 자연수이다.) 정답 \(29\)

두 다항함수 \(f(x), \;g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 (가) \(f(x)g(x)=x^3+3x^2-x-3\) (나) \(f'(x)=1\) (다) \(g(x)=2 \displaystyle \int_{1}^{x} f(t)\; dt\) \(\displaystyle \int_{0}^{3} 3g(x) \;dx\) 의 값을 구하시오. 정답 \(27\)