수악중독

함수 $f(x)=x^2-8x+a$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = \left\{ {\begin{array}{ll}{2x + 5a}&{(x \ge a)}\\{f(x + 4)}&{(x < a)}\end{array}} \right.$$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $ a$ 의 값의 곱을 구하시오. (가) 방정식 $f(x)=0$ 은 열린 구간 $(0, \;2)$ 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.(나) 함수 $f(x)g(x)$ 는 $ x=a$ 에서 연속이다. 정답 $56$

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $S_n=\{x \;| \; x$ 는 $3n$ 이하의 자연수 $\}$ 의 부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 $2n$ 보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3} \sum \limits_{k=1}^{n}a_k$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{7}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{1}{5}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 정답 ②

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형에 내접하는 원 $O_1$ 이 있다. 정사각형과 원 $O_1$ 의 접점을 각각 $\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1$ 이라 할 때, 원 $O_1$ 과 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.그림 $R_1$ 에서 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 을 각각 $3:1$ 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 $O_1$ 의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 $O_2$ 라 하고 그 접점을 각각 $\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2$ 라 할 때, 원 $O_2$ 와 두 선분 $\rm A_2B_..

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 기울기가 $-\sqrt{3}$ 인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm OB}_n}}{\overline{{\rm OA}_n}}$ 의 값은 (단, $\rm O$ 는 원점이다.)① $\dfrac{\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ ④ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 정답 ⑤

세 함수 $f(x)=\sqrt{x+2}, \; g(x)=-\sqrt{x-2}+2, \; h(x)=x$ 가 있다. 함수 $y=h(x)$ 의 그래프 위의 점 ${\rm P}(a, \; a)$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm A$, 함수 $y=g(x)$ 와 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. 점 $\rm B$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=h(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm C$ 라 할 때, $\lim \limits_{a \to 2-} \dfrac{\overline{\rm BC}}{\overline{\rm AB}}$ 의 값은? (단, $0

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $ y=x^2 - \left (4 + \dfrac{1}{n} \right ) x + \dfrac{4}{n}$ 와 직선 $y=\dfrac{1}{n}x+1$ 이 만나는 두 점을 각각 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm OP}_n{\rm Q}_n$ 의 무게중심의 $y$ 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $ 30 \lim \limits_{n \to \infty} a_n$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $20$

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 집합 $$A=\{x\; | \; x^2-1

한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 $2$ 인 두 원이 서로 한 점 $\rm P_1$ 에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $\rm Q_1$ 이라 하고, 선분 $\rm P_1Q_1$ 을 대각선으로 하는 정사각형 $R_1$ 을 그린다. 이때, $R_1$ 의 한 변의 길이를 $l_1$ 이라 하자.지름이 $\dfrac{l_1}{2}$ 인 두 원이 서로 한 점 $ \rm P_2$ 에서 만나고 정사각형 $R_1$ 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 $R_1$ 의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $Q_2$ 라 하고, 선분 $\rm P_2Q_2$ 를 대각선으로 하는 정사각형 $R_2$ 를 그린다. 이때..

자연수 $n$ 에 대하여 좌표가 $(0, \; 3n+1)$ 인 점을 ${\rm P}_n$, 함수 $f(x)=x^2\;(x \ge 0)$ 이라 하자. 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 곡선 $ y=f(x)$ 와 만나는 점을 ${\rm, Q}_n$ 이라 할 때, 다음 두 물음에 답하시오.(1) 점 ${\rm Q}_n$ 의 $y$ 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $ f^{-1}(a_2) \cdot f ^{-1} (a_9)$ 의 값은? ① $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$ ② $7$ ③ $ 7\sqrt{2}$ ④ $7\sqrt{3}$ ⑤ $14$ (2) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 ${\rm R}_n$ 은 직선 ${\rm P}_n{\rm R}_n$ 의 기울기가 음수이고 $y..

자연수 \(k\) 에 대하여 삼차방정식 \(x^3-12x+22-4k=0\) 의 양의 실근의 개수를 \(f(k)\) 라 하자. \( \sum \limits_{k=1}^{10} f(k)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(13\)