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목록(고1) 수학 - 문제풀이/방정식과 부등식 (266)
수악중독
이차항의 계수가 $1$인 이차다항식 $P(x)$ 와 일차항의 계수가 $1$인 일차다항식 $Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 다항식 $P(x+1)-Q(x+1)$ 은 $x+1$ 로 나누어 떨어진다. (나) 방정식 $P(x)-Q(x)=0$ 은 중근을 갖는다. 다항식 $P(x)+Q(x)$ 를 $x-2$ 로 나눈 나머지가 $12$ 일 때, $P(2)$ 의 값은? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ②
연립부등식 $\begin{cases} 2x+5 \le 9 \\ |x-3| \le 7 \end{cases}$ 를 만족시키는 정수 $x$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $7$
그림과 같이 이차함수 $f(x)=-x^2+2kx+k^2+4 \; (k>0)$ 의 그래프가 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm A$ 라 하자. 점 $\rm A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하고, 점 $\rm B$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm C$ 라 하자. 사각형 $\rm OCBA$ 의 둘레의 길이를 $g(k)$ 라 할 때, 부등식 $ 14 \le g(k) \le 78$ 을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $15$
그림과 같이 윗면이 개방된 원통형 용기에 높이가 $h$ 인 지점까지 물이 채워져 있다. 용기에 충분히 작은 구멍을 뚫어 물을 흘려보내는 동시에 물을 공급하여 물의 높이를 $h$ 로 유지한다. 구멍의 높이를 $a$, 구멍으로부터 물이 바닥에 떨어지는 지점까지의 수평거리를 $b$ 라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다. $$b=\sqrt{4a(h-a)} \; (단, \; 0
그림과 같이 이차함수 $y=x^2 - (a+4)x +3a+3$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, $y$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이의 최댓값은? (단, $0
복소수 $z$ 에 대하여 $z+ \overline{z} = -1 ,\; z \overline{z}=1$ 일 때, $$\dfrac{\overline{z}}{z^5} + \dfrac{\left ( \overline{z} \right )^2}{z^4} +\dfrac{ \left ( \overline{z} \right )^3}{z^3}+ \dfrac{\left (\overline{z} \right )^4}{z^2} + \dfrac{\left (\overline{z}\right )^5}{z}$$ 의 값은? (단, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ① $2$ ② $3$ ③ $4$ ④ $5$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정오각형 $\rm ABCDE$ 가 있다. 두 대각선 $\rm AC$ 와 $\rm BE$ 가 만나는 점을 $\rm P$ 라 하면 $\overline{\rm BE}:\overline{\rm PE} = \overline{\rm PE}:\overline{\rm BP}$ 가 성립한다. 대각선 $\rm BE$ 의 길이를 $x$ 라 할 때, $$1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+x^8=p+q\sqrt{5}$$ 이다. $p+q$ 의 값은? (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.) ① $22$ ② $23$ ③ $24$ ④ $25$ ⑤ $26$ 더보기 정답 ①
두 이차함수 $f(x), \; g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)g(x)= \left (x^2 - 4 \right ) \left ( x^2 - 9 \right )$ (나) $f(\alpha) = f(\alpha + 5) = 0$ 인 실수 $\alpha$ 가 존재한다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f(2) = 0$ 일 때, $g(3)= 0$ 이다. ㄴ. $g(2)>0$ 일 때, $f \left ( \dfrac{5}{2} \right ) < g \left (\dfrac{5}{2} \right )$ 이다. ㄷ. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)-g(x)=0$ 이 서로 다른 두 정수 $m, \; n$ 을 근으로 가질 때, $|m+n|=5$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ..
이차함수 $f(x)=ax^2+bx+5$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(-2)$ 의 값을 구하시오. (가) $a, \; b$ 는 음의 정수이다. (나) $1 \le x \le 2$ 일 때, 이차함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $3$ 이다. 더보기 정답 $3$