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목록(고1) 수학 - 문제풀이/방정식과 부등식 (266)
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$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2+2ax-b=0$ 의 두 근을 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $| \alpha - \beta | < 12$ 를 만족시키는 두 자연수 $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $120$
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두 이차함수 $f(x) = x^2 +2x+1$, $g(x) = -x^2 +5$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)= \begin{cases} f(x) & (x \le -2 \; 또는 \; x \ge 1) \\ g(x) & (-2
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$5$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 다항식 $$P_n(x) = (1+x) \left (1+x^2 \right ) \left ( 1+x^3 \right ) \cdots \left (1+x^{n-1} \right ) \left ( 1+x^n \right ) -64$$ 가 $x^2 +x+1$ 로 나누어 떨어지도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $38$
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$z_1, \; z_2, \; z_3$ 가 서로 다른 복소수이고 $$\dfrac{z_2}{z_1-1}=\dfrac{z_3}{z_2-1} = \dfrac{z_1}{z_3-1}=k$$ 라 하자. 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(n) = \dfrac{k^{2n}}{k^n+1}$ 이라 할 때, $f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots + f(100)$ 의 값은? (단, $z_1, \; z_2, \; z_3$ 는 모두 $1$ 이 아니다.) ① $-\dfrac{103}{2}$ ② $-\dfrac{101}{2}$ ③ $0$ ④ $\dfrac{101}{2}$ ⑤ $\dfrac{103}{2}$ 더보기 정답 ②
두 정수 $m, \; n$ 에 대하여 이차함수 $f(x)$ 와 일차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $0$ 이다. (나) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 함수 $y=g(x)$ 의 그래프는 두 점 $(m, \;0)$ , $(m+4, \; 32n)$ 에서 만난다. (다) $0 \le a \le 4$ 인 정수 $a$ 에 대하여 정수 $b$ 가 부등식 $g(m+a) \le b \le f(m+a)$ 를 만족시킬 때, $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수는 $45$ 이다. 방정식 $\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2=0$ 을 만족시키는 실근 중 최댓값과 최솟값의 합이 $8$ 일 때, $f(5) \times g(5)$ 의 값을 구하..
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}
그림은 이차함수 $f(x)=-x^2+11x-10$ 의 그래프와 직선 $y=-x+10$ 을 나타낸 것이다. 직선 $y=-x+10$ 위의 한 점 ${\rm A}(t, \; -t+10)$ 에 대하여 점 $\rm A$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm B$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm C$, 점 $\rm A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선과 점 $\rm C$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 둘레의 길이의..
그림과 같이 이차함수 의 그래프와 직선 가 만나는 두 점을 각각 라 하고, 점 와 에서 축에 내린 수선의 발을 각각 라 하자. 삼각형 의 넓이를 , 삼각형 의 넓이를 라 할 때, 을 만족시키는 양수 의 값을 구하시오. (단, 는 원점이고, 두 점 는 각각 제 사분면과 제 사분면 위에 있다.) 더보기 정답 $13$
$50$ 이하의 두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 $\left \{ i^n + \left ( \dfrac{1}{i} \right )^{2n}\right \}^m$ 의 값이 음의 실수가 되도록 하는 순서쌍 $(m, n)$ 의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) 더보기 정답 $150$
일차함수 $f(x)$ 와 이차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $g(x)$ 에 대하여 두 함수 $$h_1(x) = f(x)+g(x), \;\; h_2(x)=f(x)-g(x)$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=h_1(x)$ 의 그래프는 $x$ 축에 접한다.(나) 함수 $y=h_1(x)$ 의 그래프와 함수 $y=h_2(x)$ 의 그래프는 오직 한 점 $(1, \; 9)$ 에서 만난다.(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $h_1(x) \ge h_1(\alpha), \;\; h_2(x) \le h_2(\beta)$ 가 성립할 때, $\alpha > \beta$ 이다. $f(\beta) \times g(\alpha)$ 의 값을 구하시오. (단, $\alpha, \; \beta$ 는 상수이다...