수악중독

두 실수 $a$, $b$에 대하여 두 함수 $$f(x)=\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{2}ax^2+b, \quad g(x)=\dfrac{2}{3}x^3+ax^2$$이 있다. 함수 $h(x)$를 $$h(x)=f(x)+|f(x)-g(x)|$$라 할 때, 함수 $h(x)$는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$는 $x = -1$에서만 미분가능하지 않다.(나) 함수 $h(x)$는 $x = 0$에서 극대이고 $x = \alpha$, $x = \beta$ ($\alpha $h(\alpha) \ge h(\beta)$일 때, $a+b$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M-m$의 값은?① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{9}{4}$ ..

두 양수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x)$는$$f(x)=\begin{cases} (x-a)(x-4) & (a \le x \le \dfrac{3}{2}a) \\ (x-a)(x-b) & (x \dfrac{3}{2}a) \end{cases}$$이다. 양의 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $|f(x)| = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to 0+} g(t)=6$(나) 함수 $g(t)$는 $t=\alpha$, $t=\beta$ ($\alpha \ne \beta$)에서만 불연속이고, $\lim \limits_{t \to \alpha+} g(t)=\lim \limits_{t \to \bet..

두 자연수 $m$, $n$에 대하여 곡선 $y=2^{x-m} + n$ 위의 점 $\mathrm{A}(a, b)$ ($a (가) 직선 $\mathrm{AC}$와 직선 $y=\dfrac{1}{3}x$는 서로 수직이다.(나) 삼각형 $\mathrm{AOB}$와 삼각형 $\mathrm{ACB}$의 넓이의 비는 $27:8$이다.$m+n$의 최댓값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) 더보기정답 $26$

수직선의 원점에 점 $\mathrm{P}$가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수를 $k$라 하자. $k$가 $1$이면 점 $\mathrm{P}$를 양의 방향으로 $1$만큼 이동시키고, $k$가 $2$이면 점 $\mathrm{P}$를 음의 방향으로 $1$만큼 이동시키고, $k$가 $3$ 이상이면 점 $\mathrm{P}$를 이동시키지 않는다. 이 시행을 $7$번 반복할 때, $n$ ($1 \le n \le 7$)번째 시행 후 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $a_n$이라 하자. $a_1=0$이고 $a_7=1$일 때, 집합 $\{a_m \mid m\text{은 } 7 \text{ 이하의 자연수}\}$의 원소 중 가장 큰 값이 $2$일 확률은 $\dfr..

$a>0$, $b>0$인 두 상수 $a$, $b$에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$에 대하여 $(f(x))^3+f(x)=\dfrac{a}{x^2+12}-bx-\dfrac{16}{3}b$ 이다.(나) 함수 $f(x)$의 역함수가 존재하고, $f'(k)=0$인 실수 $k$가 존재한다.곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=-bx$가 만나는 서로 다른 모든 점의 $x$좌표의 합이 $k+8$일 때, $a \times b=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $59$