수직선의 원점에 점 $\mathrm{P}$가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수를 $k$라 하자. $k$가 $1$이면 점 $\mathrm{P}$를 양의 방향으로 $1$만큼 이동시키고, $k$가 $2$이면 점 $\mathrm{P}$를 음의 방향으로 $1$만큼 이동시키고, $k$가 $3$ 이상이면 점 $\mathrm{P}$를 이동시키지 않는다.
이 시행을 $7$번 반복할 때, $n$ ($1 \le n \le 7$)번째 시행 후 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $a_n$이라 하자. $a_1=0$이고 $a_7=1$일 때, 집합 $\{a_m \mid m\text{은 } 7 \text{ 이하의 자연수}\}$의 원소 중 가장 큰 값이 $2$일 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)
