역함수의 존재조건&함수의 최대와 최소_난이도 상 (2026년 7월 고3 미적분 30번)

 

 

$a>0$, $b>0$인 두 상수 $a$, $b$에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $(f(x))^3+f(x)=\dfrac{a}{x^2+12}-bx-\dfrac{16}{3}b$ 이다.
(나) 함수 $f(x)$의 역함수가 존재하고, $f'(k)=0$인 실수 $k$가 존재한다.

곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=-bx$가 만나는 서로 다른 모든 점의 $x$좌표의 합이 $k+8$일 때, $a \times b=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 

 

정답 $59$