좌극한과 우극한 활용_난이도 상 (2026년 7월 고3 21번)

 

 

두 양수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x)$는
$$f(x)=\begin{cases} (x-a)(x-4) & (a \le x \le \dfrac{3}{2}a) \\ (x-a)(x-b) & (x < a \text{ 또는 } x > \dfrac{3}{2}a) \end{cases}$$
이다. 양의 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $|f(x)| = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\lim \limits_{t \to 0+} g(t)=6$
(나) 함수 $g(t)$는 $t=\alpha$, $t=\beta$ ($\alpha \ne \beta$)에서만 불연속이고, $\lim \limits_{t \to \alpha+} g(t)=\lim \limits_{t \to \beta-} g(t)=1$ 이다.

 

$f(0)=p+q\sqrt{2}$일 때, $p^2+q^2$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 유리수이다.)

 

정답 $320$