수악중독

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 4$, $\overline{\mathrm{AC}} = 8$, $\angle\mathrm{CBA} > \dfrac{\pi}{2}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이가 $\dfrac{16\sqrt{15}}{15}$이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$, 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{N}$이라 할 때, 두 점 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$을 각각 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 두 원 $\mathrm{C}_1$, $\mathrm{C}_2$가 있다. 두 원 $\mathrm{C}_1$, $\mathrm{C}_2$가 만나는 점 중 $\ma..

등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 수열 $\{b_n\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여$$b_n=\begin{cases} 2(S_n - na_n) & \text{($n$이 홀수인 경우)} \\ (n-1)a_n & \text{($n$이 짝수인 경우)} \end{cases}$$를 만족시킨다. 다음은 $b_2=2$일 때, $\sum \limits_{n=1}^{20} b_n$의 값을 구하는 과정이다. 수열 $\{a_n\}$이 등차수열이므로 자연수 $n$에 대하여 $$S_n=\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \quad \cdots \cdots \text{ (1)}$$(i) $n = 2k-1$ ($k$는 자연수)일 때, (1)에 의하여 $$\begin{ali..

주머니에 $1$부터 $2n+1$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $2n+1$개의 공이 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 시행을 한다. 주머니에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼내어 꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 두 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다. 확인한 두 수가 각각 홀수와 짝수이면 확인한 두 수 중 짝수를 기록하고, 확인한 두 수가 모두 홀수이거나 모두 짝수이면 숫자 $0$을 기록한다. 이 시행을 한 번 하여 기록한 수를 확률변수 $\mathrm{X}$라 하자. $\mathrm{E}(\mathrm{X}^2) = 14\mathrm{E}(\mathrm{X})$일 때, $\mathrm{E} \left (7\mathrm{X} + \dfrac{2}{3} \right )$의 값을 구하시오. (단,..

등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하고, 수열 $\{b_n\}$을 모든 자연수 $n$에 대하여$$b_n=\begin{cases} -a_n & (a_n \le a_{n+1}) \\ a_{2n} & (a_n > a_{n+1}) \end{cases}$$이라 할 때, 두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n b_n (나) $\left(\sum \limits_{n=1}^{\infty} |a_n|\right)^2 = 2\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = 63$일 때,..

초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$ ($p > 0$)이고 준선이 $x=-p$인 포물선이 있다. 점 $\mathrm{F}'(-p, 0)$에 대하여 $\cos(\angle\mathrm{PFF}')=\dfrac{1}{5}$을 만족시키는 이 포물선 위의 점 중 제1사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 선분 $\mathrm{PF}'$의 중점을 $\mathrm{R}$이라 하자. 두 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{F}'$을 초점으로 하고 점 $\mathrm{R}$을 지나는 쌍곡선에 대하여 선분 $\mathrm{PF}'$과 쌍곡선이 만나는 점 중 $\mathrm{R}$이 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{QOR}$의 둘레의 길이가 $14$일 때, 삼각형..