수악중독

그림과 같이 좌표평면 위에 점 $\mathrm{A}(0, \; 1)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있다. 원점 $\mathrm{O}$ 를 지나고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 인 직선이 원 $C$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 호 $\mathrm{OP}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\angle \mathrm{OPQ}=\dfrac{\theta}{3}$ 가 되도록 잡는다. 삼각형 $\mathrm{POQ}$ 의 넓이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta^3}$ 의 값은? (단, 점 $\..

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}_1}=2, \; \overline{\mathrm{B_1C_1}}=\sqrt{3}, \; \overline{\mathrm{C_1D_1}}=1$ 이고 $\angle \mathrm{C_1B_1A}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 사다리꼴 $\mathrm{AB_1C_1D_1}$ 이 있다. 세 점 $\mathrm{A, \; B_1, \; D_1}$ 을 지나는 원이 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 과 만나는 점 중 $\mathrm{B_1}$ 이 아닌 점을 $\mathrm{E_1}$ 이라 할 때, 두 선분 $\mathrm{C_1D_1, \; C_1E_1}$ 과 호 $\mathrm{E_1D_1}$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\mathrm{B_1E_1}$ 과 호..

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $8$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$ 가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{C}$ 에 대하여 점 $\mathrm{B}$ 에서 선분 $\mathrm{OC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 두 선분 $\mathrm{BD}, \; \mathrm{CD}$ 와 호 $\mathrm{BC}$ 에 동시에 접하는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{O}$ 에서 원 $C$ 에 그은 접선 중 점 $\mathrm{C}$ 를 지나지 않는 직선이 호 $\mathrm{AB}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{E}$ 라 할 때, $\cos \left ( \..

$x \ge 0$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x) = \begin{cases} 2^x -1 & (0 \le x \le 1) \\ 4 \times \left (\dfrac{1}{2} \right )^x -1 & (1 \lt x \le 2) \end{cases}$ (나) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+2)=-\dfrac{1}{2}f(x)$ 이다. $x \gt 0$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$ g(x)=\lim \limits_{h \to 0+} \dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{h}$$ 라 할 때, $$\lim \limits_{t \to 0+} \{ g(n+t) - g(n-t)\} + 2g(n)=\dfrac{\ln 2}{2^{24}}$$..

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{8}=1$ 이 한 점근선의 방정식이 $y=\sqrt{2}x$ 일 때, 이 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $4\sqrt{2}$ ② $6$ ③ $2\sqrt{10}$ ④ $2\sqrt{11}$ ⑤ $4\sqrt{3}$ 더보기 정답 ⑤

그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{40}+\dfrac{y^2}{15}=1$ 의 두 초점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{F}$ 라 하고, 타원 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{OF}}=\overline{\mathrm{FQ}}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{POQ}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ⑤

두 초점이 $\mathrm{F} \left (3\sqrt{3}, \; 0 \right ), \; \mathrm{F'}\left (-3\sqrt{3}, \; 0 \right )$ 인 쌍곡선 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{PF'}$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{PQF}$ 가 정삼각형일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(5, \; 0), \; \mathrm{F'}(-5, \; 0)$ 을 초점으로 하는 타원이 $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점 $\mathrm{P}$ 와 타원 위의 점 중 제$2$사분면에 있는 점 $\mathrm{Q}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 $\mathrm{PF'}$ 은 원 $C$ 에 접한다. (나) 두 직선 $\mathrm{PF', \; QF'}$ 은 서로 수직이다. $\overline{\mathrm{QF'}}=\dfrac{3}{2}\ove..

초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $C:y^2=4x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{PF}$ 를 지름으로 하는 원을 $O$ 라 할 때, 원 $O$ 는 포물선 $C$ 와 서로 다른 두 점에서 만난다. 원 $O$ 가 포물선 $C$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$, 점 $\mathrm{P}$ 에서 포물선 $C$ 의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\angle \mathrm{QHP}=\alpha, \; \angle \mathrm{HPQ}=\beta$ 라 할 때, $\dfrac{\tan \beta}{\tan \alpha}=3$ 이다. $\dfrac{\overline{\m..

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{27}=1$ 위의 점 $\mathrm{P} \left (\dfrac{9}{2}, \; k \right ) \; (k>0)$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{F, \; F'}$ 을 초점으로 하고 점 $\mathrm{Q}$ 를 한 꼭짓점으로 하는 쌍곡선이 선분 $\mathrm{PF'}$ 와 만나는 두 점을 $\mathrm{R, \; S}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{RS}} + \overline{\mathrm{SF}}=\overline{\m..