도형과 등비급수_난이도 상 (2023년 4월 전국연합 고3 미적분 28번)

 

 

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}_1}=2, \; \overline{\mathrm{B_1C_1}}=\sqrt{3}, \; \overline{\mathrm{C_1D_1}}=1$ 이고 $\angle \mathrm{C_1B_1A}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 사다리꼴 $\mathrm{AB_1C_1D_1}$ 이 있다. 세 점 $\mathrm{A, \; B_1, \; D_1}$ 을 지나는 원이 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 과 만나는 점 중 $\mathrm{B_1}$ 이 아닌 점을 $\mathrm{E_1}$ 이라 할 때, 두 선분 $\mathrm{C_1D_1, \; C_1E_1}$ 과 호 $\mathrm{E_1D_1}$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\mathrm{B_1E_1}$ 과 호 $\mathrm{B_1E_1}$ 로 둘러싸인 부분인

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 

그림 $R_1$ 에서 선분 $\mathrm{AB_1}$ 위의 점 $\mathrm{B_2}$, 호 $\mathrm{E_1D_1}$ 위의 점 $\mathrm{C_2}$, 선분 $\mathrm{AD_1}$ 위의 점 $\mathrm{D_2}$ 와 점 $\mathrm{A}$ 를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\mathrm{B_2C_2}}:\overline{\mathrm{C_2D_2}}=\sqrt{3}:1$ 이고 $\angle \mathrm{C_2B_2A} = \dfrac{\pi}{2}$ 인 사다리꼴 $\mathrm{AB_2C_2D_2}$ 를 그린다. 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 점 $\mathrm{E_2}$ 를 잡고, 사다리꼴 $\mathrm{AB_2C_2D_2}$ 에

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{49}{144}\sqrt{3}$          ② $\dfrac{49}{122}\sqrt{3}$          ③ $\dfrac{49}{100}\sqrt{3}$          ④ $\dfrac{49}{78} \sqrt{3}$          ⑤ $\dfrac{7}{8}\sqrt{3}$

 

정답 ④