지수함수의 극한 & 지수함수의 미분_난이도 상 (2023년 4월 전국연합 고3 미적분 30번)

 

 

$x \ge 0$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) $f(x) = \begin{cases} 2^x -1 & (0 \le x \le 1) \\ 4 \times \left (\dfrac{1}{2} \right )^x -1 & (1 \lt x \le 2) \end{cases}$

(나) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+2)=-\dfrac{1}{2}f(x)$ 이다. 

 

$x \gt 0$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$ g(x)=\lim \limits_{h \to 0+} \dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{h}$$ 라 할 때, $$\lim \limits_{t \to 0+} \{ g(n+t) - g(n-t)\} + 2g(n)=\dfrac{\ln 2}{2^{24}}$$ 를 만족시키는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 

 

정답 $107$