수악중독

함수 $f(x)=(x+k) \ln x$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $$g \left ( \dfrac{x}{k} \right ) = f^{-1}(x), \quad g(2)=k$$ 를 만족시킬 때, $g'(2)$ 의 값은? (단, $k$ 는 $0$ 이 아닌 상수이다.) ① $\dfrac{e}{5}$ ② $\dfrac{e}{3}$ ③ $e$ ④ $3e$ ⑤ $5e$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 에 대하여 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$, $\angle \mathrm{PBA}=3\theta$ 가 되도록 잡고, 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; P}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{B}$ 를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AP}$ 를 이등분하는 점과 선분 $\mathrm{AP}$ 의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $\left (\text{단, } 0 < \theta < \dfrac{\..

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=2$ 이고 $\angle \mathrm{A_1B_1C_1}=\dfrac{\pi}{3}$ 인 마름모 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$ 이 있다. 점 $\mathrm{B_1}$ 을 중심으로 하고 점 $\mathrm{A_1}$ 을 지나는 원이 대각선 $\mathrm{B_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{E_1}$ 이라 하고, $\angle \mathrm{A_1B_1E_1}$ 의 이등분선이 선분 $\mathrm{A_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{F_1}$ 이라 하자. 호 $\mathrm{A_1C_1}$ 과 네 선분 $\mathrm{B_1C_1, \; B_1E_1, \; A_1F_1, \; E_1F_1}$ 으로 이루어..

$a, \; b$ 가 양수일 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=axe^{-bx^2+b}$$ 과 $t> \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$, 원점 $\mathrm{O}$ 에서 이 접선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\angle \mathrm{HOQ} = g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}+} g(t)=0$ (나) 함수 $g(t)$ 는 최댓값 $\dfrac{\pi}{4}$ 를 갖는다. $\dfrac{g'..

포물선 $y^2=10(x+1)$ 의 초점을 $\mathrm{F}$ 라 하자. 직선 $x=7$ 이 이 포물선과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 할 때, 선분 $\mathrm{AF}$ 의 길이는? ① $\dfrac{21}{2}$ ② $\dfrac{23}{2}$ ③ $\dfrac{25}{2}$ ④ $\dfrac{27}{2}$ ⑤ $\dfrac{29}{2}$ 더보기 정답 ①

좌표평면에서 점 $\mathrm{A}(2, \; 2)$ 와 벡터 $\overrightarrow{u} = (2, \; 1)$ 에 대하여 $$\mathrm{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}} + t \overrightarrow{u} \; (t\text{는 실수})$$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$ 가 나타내는 직선을 $l$ 이라 할 때, 포물선 $y^2=8x$ 에 접하고 직선 $l$ 에 평행한 직선을 $m$ 이라 하자. 두 직선 $l, \; m$ 의 $y$ 절편의 합은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③

중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위의 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에 대하여 $$\left | 3 \mathrm{\overrightarrow{OA}+2 \overrightarrow{OB}} \right | = \sqrt{5}$$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{8}$ ④ $\dfrac{\sqrt{5}}{7}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{5}}{6}$ 더보기 정답 ⑤

직선 $l$ 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}}=6$, $\overline{\mathrm{BC}}=4$ 일 때, 두 타원 $E, \; F$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 타원 $E$ 의 두 초점은 $\mathrm{A, \; B}$ 이고 장축의 길이는 $10$ 이다. (나) 타원 $F$ 의 두 초점을 $\mathrm{B, \; C}$ 이고 장축의 길이는 $6$ 이다. 두 티원의 점 $\mathrm{D}$ 에서 만날 때, 선분 $\mathrm{BD}$ 의 길이는? (단, $\mathrm{\overline{AC} > \overline{BC}}$) ① $\dfrac{41}{19}$ ② $\dfrac{43}{19}$ ③ $..

한 평면 위에 있는 서로 다른 네 점 $\mathrm{A, \; B, \; C, \; D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right | = 6$ (나) $\mathrm{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} = 0}$ 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 $$\mathrm{2 \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + 5 \overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC}}$$ 일 때, $\left | \m..

그림과 같이 쌍곡선 $x^2-\dfrac{y^2}{9}=1$ 의 두 초점을 $\mathrm{F, \; F'}$ 이라 할 때, 점 $\mathrm{F'}$ 을 꼭짓점으로 하고 점 $\mathrm{F}$ 를 초점으로 하는 포물선이 쌍곡선과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 제$3$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{F'}$ 을 지나는 원을 $C_1$, 점 $\mathrm{B}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{F'}$ 을 지나는 원을 $C_2$ 라 하자. 원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 중..