수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(-1)=4$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\begin{cases} \{f(x)-1\}^2 & (x \le 1) \\ \dfrac{(x-1)^2}{f(x)} & (x>1) \end{cases}$$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f(2)$ 의 값이 될 수 있는 모든 실수의 합은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $\dfrac{3}{2}$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $\dfrac{7}{2}$ ⑤ $\dfrac{9}{2}$ 더보기 정답 ④

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(0)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\dfrac{\displaystyle \int_0^x | f'(t) | dt}{x}$$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 가 $x=1$ 에서 극대일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits_{x \to 0+} g(x) >3$ ㄴ. 함수 $f(x)$ 의 극댓값이 $\dfrac{5}{2}$ 보다 크면 $f(1)-g(2)=1$ 이다. ㄷ. 함수 $f(x)$ 의 극솟값이 $0$ 이면 등식 $g(x)=n \times g(3)$ 을 만족시키는 $0

모든 항이 실수인 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 수열 $\{a_n\}$ 이 $a_1 = 1,\; a_2=4$ 이고, $2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$S_{n+1} = S_{n-1} + 2 \sqrt{a_n a_{n+1} +1 }$$ 을 만족시킬 때, $S_{10}$ 의 최댓값 $M$ 과 최솟값 $m$ 을 구하는 과정이다. $$S_{n+1} = S_{n-1} +2 \sqrt{a_n a_{n+1} +1} \; (n \ge 2) \cdots \cdots \text{ (ㄱ) }$$ 를 $a_n$ 에 대한 식으로 정리하면 $$(a_{n+1} -a_n )^2 = \boxed{ (가) } \; ( n \ge 2)$$ 이다. 따라서 $S_{10..

함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(x)=-x^3+5$ 이고 $f(0)=\dfrac{1}{4}$ 일 때, $f(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $5$

등식 $$\log_5 2 \times \log_5 n = \log_5 4 + (\log_5 2)^2$$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $50$

두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $$\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{x^2+ax+b}{x^2-4}=\dfrac{1}{4}$$ 일 때, $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $13$

수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 가 $$v(t)=3t^2+t+k$$ 이다. 시각 $t=1$ 에서 $t=3$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 의 위치의 변화량이 $0$ 이고, 시각 $t=2$ 에서의 점 $\mathrm{P}$ 의 위치가 $5$ 일 때, 시각 $t=0$ 에서의 점 $\mathrm{P}$ 의 위치를 구하시오. (단, $k$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $25$

다음 조건을 만족시키고 $f(3)=1$ 인 모든 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{-2}^{10} f(x)dx$ 의 최댓값을 구하시오. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(x+6)$ 이다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \le |x|$ 이다. (다) $a

모든 항이 정수인 수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $0

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(0) \ne 0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(1)$ 의 값이 될 수 있는 모든 정수의 합을 구하시오. (가) 부등식 $f(x) > f(f(0))$ 의 해는 $x>0$ 이다. (나) 부등식 $3f(x) < 4f(0)$ 의 해는 어떤 실수 $\alpha$ 에 대하여 $x< \alpha$ 이다. 더보기 정답 $9$