수악중독

세 개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수 중 가장 큰 수가 $n$일 확률을 ${\rm P}_n$이라 하자. 이 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. ${\rm P}_1 = {\Large \frac{1}{216}}$ ㄴ. ${\rm P}_n + {\rm P}_{n+1} < {\rm P}_{n+2}\;\; (n=1,\;2,\;3,\;4)$ ㄷ. ${\rm P}_{n+3} - {\rm P}_n = 3 \left( {\rm P}_{n+2} - {\rm P}_{n+1} \right)\;\; (n=1,\;2,\;3)$ ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④

꼭짓점이 $\rm A_1 ,\; A_2 ,\; A_3 , \; \cdots , \; A_6$ 인 정육각형 모양의 게임 판에서 다음 규칙에 따라 게임이 진행된다. 규칙 1. $\rm A_1$ 을 출발점으로 한다. 규칙 2. 동전을 던져 앞면이 나오면 시계 반향의 이웃한 꼭짓점으로 이동하고, 뒷면이 나오면 반시계 방향의 이웃한 꼭짓점으로 이동한다. 규칙 3. $\rm A_4$ 에 도달하면 더 이상 동전을 던지지 않고 게임은 끝난다. 동전을 다섯 번 던져서 게임이 끝날 확률은? ① $\Large \frac{7}{32}$ ② $\Large \frac{3}{16}$ ③ $\Large \frac{5}{32}$ ④ $\Large \frac{1}{8}$ ⑤ \(\Large \frac{3}{32..

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수 $n$ 에 대하여 $f(n)=n+2\times(-1)^n -2\left [ {\Large \frac{n}{2}} \right ]$이라 하자. 한 개의 주사위를 5번 던져서 나온 눈의 수 $n_1 ,\;n_2 ,\;n_3 ,\;n_4 ,\;n_5$에 대하여 $f(n_1 )+f(n_2 )+f(n_3 )+f(n_4 )+f(n_5 )=4$일 확률을 $\Large \frac{a}{b}$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수이고, $a,\;b$는 서로소인 자연수이다.) 정답 21

네 명이 동전을 한 개씩 동시에 던져서 다음과 같은 방법으로 두 명씩 두 개조로 나누려고 한다. (가) 앞면과 뒷면이 각각 두 개씩 나오면 같은 면이 나온 사람끼리 같은 조가 된다. (나) 앞면과 뒷면의 개수가 다르면 앞면과 뒷면의 개수가 같게 나올 때까지 네 명 모두 동전을 다시 던진다. 이와 같은 방법으로 네 명을 두 개 조로 나눌 때, 동전을 두 번씩 던지게 될 확률은 $\Large \frac{q}{p}$ ($p,\;q$는 서로소인 자연수)이다. 이때, $p+q$의 값을 구하시오. 정답 79

집합 $X$를 \[X = \left\{ {\left. {\left( {\matrix{a & b \cr c & d } } \right)\;} \right|\;a,\;b,\;c,\;d\;는\;3\;이하의\;자연수 } \right\}\]라 하자. 집합 $X$에서 임의로 하나의 행렬을 선택할 때, 그 행렬이 역행렬을 가질 확률은 $\Large \frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$는 서로소인 자연수이다.) 정답 49

집합 $\left \{1,\;2,\;3,\;\cdots,\;16\right \}$에서 선택한 임의의 두 수 $m,\;n$에 대하여 $3^m +8^n$의 일의 자리의 숫자가 3일 확률이 $\dfrac{b}{a}$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a,\;b$는 서로소인 자연수) 정답 19

서로 독립인 세 사건 $A,\;B,\;C$에 대하여 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. ${\rm P}(A\cup B\cup C)={\rm P}(A)+{\rm P}(B)+{\rm P}(C)$ ㄴ. ${\rm P}(A\cap B\cap C)={\rm P}(A) {\rm P}(B) {\rm P}(C)$ ㄷ. 사건 $A$와 $B\cup C$도 독립이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④

한 모서리의 길이가 1인 정육면체 $\rm ABCD-DEFG$ 위에 동점 $\rm P$가 있다. 점 $\rm P$는 한 번 이동할 때마다 한 꼭짓점에서 그 꼭짓점과 이웃한 세 꼭짓점 중 임의의 한 점으로 이동한다. 예를 들어, 점 $\rm P$가 점 $\rm A$에서 이동할 때는 세 점 $\rm B,\;D,\;E$ 중 한 점으로 이동하고, 이 세 꼭짓점으로 이동할 확률은 각각 $\dfrac{1}{3}$이다. 이와 같은 방법으로 점 $\rm P$가 점 $\rm A$에서 출발하여 세 번 이동할 때, 두 점 $\rm A,\;P$ 사이의 거리가 1일 확률은? ① $\dfrac{7}{9}$ ② $\dfrac{22}{27}$ ③ $\dfrac{23}{27}$ ④ \(\..

집합 $X=\left \{ 1,\;2,\;3 \right \}, \; Y=\left \{ 1,\;2,\;3,\;4 \right \},\;Z=\left \{0,\;1\right \}$에 대하여 조건 (가)를 만족시키는 모든 함수 $f\;:\; X \rightarrow Y$ 중에서 임의로 하나를 선택하고, 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 $g\;:\; Y \rightarrow Z$ 중에서 임의로 하나를 선택하여 합성함수 $g\circ f\;:\;X \rightarrow Z$를 만들 때, 이 합성함수의 치역이 $Z$일 확률은 $\Large \frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$는 서로소인 자연수이다.) (가) $X$의 임의의 두 원소 ..

자연수 24의 양의 약수들 중 서로 다른 세 수를 택했을 때, 그 합이 3의 배수일 확률은? ① $\Large \frac{5}{14}$ ② $\Large \frac{3}{7}$ ③ $\Large \frac{1}{2}$ ④ $\Large \frac{4}{7}$ ⑤ $\Large \frac{9}{14}$ 정답 ①