수악중독

닫힌구간 \([0,\;1]\) 에서 함숫값이 \(0\) 보다 크거나 같고 \(1\) 보다 작거나 같은 모든 연속 함수들의 집합을 \( C[0,\;1]\) 이라 한다. 즉, \[C[0,\;1]=\{f\; \vert \; f는 \; [0,\;1]\; 에서 \; 연속이고\; 0\le f(x) \le 1 \} \] 일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 연산 \(*\) 를 \((f*g)(x)=f \left (g(x) \right ) \) 로 정의할 때, \(C[0,\;1]\) 은 연산 \(*\) 에 대하여 닫혀 있다. ㄴ. \(f(x) \in C[0,\;1]\) 이면 \(f(x)=x\) 는 닫힌구간 \([0,\;1]\) 에서 반드시 해를 가진다. ㄷ. 치역이 \(\left \{ y \; \vert ..

[그림 1]과 같이 한 쪽 끝에 고리가 있는 실이 있다. 실의 한 쪽 끝을 \(\rm A\), 고리가 있는 나머지 한 쪽을 \(\rm B\) 라 하자. 이 때, 이 실의 길이는 충분히 길고 일정하다. [그림 2]와 같이 액자의 양 끝에 고정되어 있는 고리 \(\rm C, \; D\) 로 이 실의 한 쪽 끝 \(\rm A\) 를 차례로 통과시킨 후 고리 \(\rm B\) 를 통과시킨다. 이 때, 실의 끝 \(\rm A\) 를 잡아서 들면 선분 \(\rm CD\) 의 중점 \(\rm E\) 에 대하여 선분 \(\rm AB\) 의 연장선은 \(\rm E\) 를 지나고 선분 \(\rm CD\) 를 수직이등분한다. \(\rm A\) 와 \(\rm E\) 사이의 거리가 최대인 상태에서 액자가 평형을 유지하도록 하고..

함수 \( f(x) \) 가 모든 실수 \( x \) 에 대하여 \( f(x) \ne 0 \) 이고 미분가능하다. 미분가능한 두 함수 \( F(x) , \; G(x) \) 가 \(F'(x) = f(x)\) \(F'(x)G'(x)=1\) \(F(x)G(x)=-1\) 을 만족시킬 때, 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \( f(x)G(x) = - \dfrac{1}{f(x)} F(x) \) ㄴ. \( f(x)=f'(x) \) ㄷ. \( F(x) = f'(x)\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ④

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{ - 1} & {(x < 1)} \cr{ - x + 2} & {(x \ge 1)}} } \right.\)에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\int_{ - 1}^x {\left( {t - 1} \right)f\left( t \right)dt} \] 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(x)\)는 구간 \( (1,\;2)\)에서 증가한다. ㄴ. \(g(x)\)는 \(x=1\)에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 \(g(x)=k\)가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)가 존재한다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

두 함수 \(f(x),\; g(x)\) 가 두 조건 i) \(x+f(x)=g(x)\{ x-f(x) \}\) ii) \(\lim \limits _{x \to 0} g(x) =3 \) 을 만족시킬 때, 에서 극한값이 존재하는 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits _{x \to 0} {\Large \frac{f(x)}{x}}\) ㄴ. \(\lim \limits _{x \to 0} f(x)\) ㄷ. \(\lim \limits _{ x \to 0} {\Large \frac{x^2 +f(x)}{x^2 - f(x)}}\) ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

\(\lim \limits _{x \to 0} x \left [ {\Large \frac{1}{x}} \right ] \) 을 계산하면? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ④

함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 그림과 같을 때, \[\int_{ - 2}^2 {f\left( {{x^2} - 1} \right)dx} \]의 값은? ① \(\displaystyle \frac{12-7\sqrt{2}}{3}\) ② \(\displaystyle \frac{12-8\sqrt{2}}{3}\) ③ \(\displaystyle \frac{14-6\sqrt{2}}{3}\) ④ \(\displaystyle \frac{14-7\sqrt{2}}{3}\) ⑤ \(\displaystyle \frac{14-8\sqrt{2}}{3}\) 정답 ②

오른쪽 그림과 같이 길이가 4인 선분 \(\rm AB\)를 지름으로 하는 반원에 내접하는 원이 있다. 이 원의 중심 \(\rm P\) 가 그리는 곡선과 선분 \(\rm AB\) 로 이루어진 어두운 부분의 넓이는? ① \(\displaystyle \frac{4}{3} \) ② \(\displaystyle \frac{5}{2} \) ③ \(\displaystyle \frac{8}{3} \) ④ \(\displaystyle \frac{11}{4} \) ⑤ \(\displaystyle \frac{14}{5} \) 정답 ③

\(x>0\) 에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(f(1)=2\)이고, 모든 양수 \(a,\;b\)에 대하여 \(\displaystyle \int _a^{ab}{f\left( x \right)dx = \displaystyle \int _1^b {f\left( x \right)dx} } \)를 만족할 때, \(f \left ({\dfrac{1}{2}} \right ) \)의 값은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(1\) ④ \(2\) ⑤ \(4\) 정답 ⑤

무리방정식 \(a - \sqrt {x - 2a} = 2x - 6 \)이 실근을 갖기 위한 상수 \(a\)의 최댓값은? ① \( \large \frac{1}{2} \) ② \( 1\) ③ \(\large \frac{5}{4} \) ④ \(\large \frac{3}{2} \) ⑤ \(2\) 정답 ⑤