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수악중독
\(a>0,\;b>0\) 일 때, \({\rm log}_2 (4a+b) + {\rm log}_2 \left ( {\Large \frac{1}{a}}+{\Large \frac{1}{b}} \right ) \) 의 최솟값의 정수 부분을 \(n\), 소수 부분을 \(\alpha\) 라 하자. 이 때, \(n+2^{\alpha}\) 의 값은? ① \(\Large \frac{13}{4}\) ② \(\Large \frac{29}{8}\) ③ \(\Large \frac{15}{4}\) ④ \(\Large \frac{31}{8}\) ⑤ \(\Large \frac{33}{8}\) 정답 ⑤
세 자리의 자연수 \(N\) 에 대하여 \([{\rm log} 2N ]=[{\rm log} N] +1\) 이 성립할 때, 옳은 것은 에서 모두 고른 것은? (단, \({\rm log} 2=0.3010\) 이고 \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ㄱ. \(N^2\) 은 항상 \(6\) 자리의 수이다. ㄴ. \(N^3\) 은 항상 \(9\) 자리의 수이다. ㄷ. \(N^4\) 은 항상 \(12\) 자리의 수이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
\(x^{2006} =1\) 의 \(1\) 이외의 근을 \(\alpha _1 ,\; \alpha _2 , \; \cdots , \; \alpha _{2005}\) 라고 할 때, \[(2+\alpha_1 ) (2+\alpha_2 )(2+\alpha _3 ) \cdots (2+\alpha_{2005} ) \] 의 값을 \(2^{2006} = A\) 를 이용하여 나타내면? ① \(A-1\) ② \(A+1\) ③ \(2A\) ④ \(\dfrac{1-A}{3}\) ⑤ \(\dfrac{A-1}{3}\) 정답 ⑤
아래 표와 같이 수를 써나갈 때, \(m\) 번째 행의 \(n\) 번째 열에 있는 수를 \(f(m,\;n)\) 이라고 하자. 이 때, 집합 \( \left \{ (m,\;n) \;\vert \;f(m, \;n) =81 \right \} \) 의 원소의 갯수를 구하여라. 정답 10개
함수 \(f(x)=\left [ [{\rm log} x]-{\rm log}x \right ]\) 에 대하여 방정식 \(f(x)-ax=0\) \((-1
그림과 같이 넓이가 \(1\) 인 정삼각형 \(A_0\) 에서 시작하여 도형 \(A_1 , \; A_2 , \; \cdots\) 를 만든다. 여기서 \(A_n\) 은 \(A_{n-1}\) 의 각 변의 \(3\) 등분점을 꼭짓점으로 가지는 정삼각형을 \(A_{n-1}\) 의 바깥쪽에 덧붙인 도형이다. (1) 도형 \(A_n\) 의 변의 개수를 구하시오. (2) 도형 \(A_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라고 할 때, \(S_n\) 을 구하시오. 정답 (풀이 참조)
다음 식의 값을 구하시오.\[ \sum \limits _{n=0}^{50} (-1)^{n+1} \cdot \tan { \frac{n}{3}} \pi \] 정답 \(2\sqrt{3}\)
\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 분모는 \(2^n\) 꼴이고, 분자는 분모보다 작은 홀수로 이루어진 수열 \[\frac {1}{2^2} , \;\; \frac {3}{2^2} , \;\; \frac {1}{2^3} , \;\; \frac {3}{2^3} , \;\; \frac {5}{2^3} , \;\; \frac {7}{2^3} , \;\; \frac {1}{2^4} , \;\; \frac {3}{2^4} , \;\; \cdots\] 에서 제 \(126\) 항과 첫째항부터 제 \(126\) 항까지의 합을 구하여라. 정답 \({\Large \frac{127}{128}},\; 63\)
그림과 같은 \(\angle {\rm B} = 90^o ,\;\; \angle {\rm C} = 10^o \) 인 직각삼각형 모양의 실험도구가 있다. \(\rm B\) 에서 발사된 빛이 변 \(\rm AC\) 와 변 \(\rm BC\) 사이에서 여러 번 반사되어 변 \(\rm AC\) 또는 변 \(\rm BC\) 에 수직으로 도달하면 다시 \(\rm B\) 로 되돌아온다고 한다. \(\rm B\) 에서 각 \(\theta\) 의 크기로 발사된 빛이 최대한 많은 횟수로 반사되어 \(\rm B\) 로 되돌아올 때, 각 \(\theta\) 의 크기를 \(\dfrac{\pi}{a}\) 라 하자. 이 때, \(a\) 의 값을 구하시오. (단, 입사각과 반사각의 크기는 같다.) 정답 18