이차방정식 근과 계수와의 관계_난이도 상 (2026년 9월 고1 30번)

 

 

두 양수 $a$, $b$와 실수 $k$ $(k \neq 0)$에 대하여 두 이차함수 $$f(x)=(x-a)^2 + b, \quad g(x)=(x-a-k)^2 + b + 2k$$가 있다. 직선 $y=2x$가 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$와 만나는 서로 다른 모든 점의 개수가 $2$이다. 직선 $y = f(0)$이 곡선 $y=f(x)$와 만나는 두 점의 $x$좌표는 $0$, $t_1$이다. 직선 $y=f(0)$이 곡선 $y=g(x)$와 서로 다른 두 점에서 만나고, 두 교점의 $x$좌표는 $t_2$, $t_3$이다. 세 실수 $t_1, t_2, t_3$이 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $t_2 < 0 < t_3 < t_1$  
(나) $t_1 = 2(t_2 + t_3)$

 

두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 교점을 지나고 곡선 $y=f(x)$와 한 점에서만 만나는 직선을 $y=h(x)$라 할 때, $x$에 대한 방정식 $g(x)=h(x)$의 서로 다른 두 실근의 합은 $2(a+k)$이다. $f(k)-g(k)$의 값을 구하시오. 

 

정답 $24$