수악중독

\(2500 \rm L\) 의 물을 저장할 수 있는 물탱크에 현재 \(1200 \rm L\) 의 물이 담겨 있다. 이 물탱크에 있는 물의 양의 \(12%\) 를 사용한 다음 \(x \rm L\) 의 물을 넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 \(n\) 번 반복한 후 물탱크에 남아 있는 물의 양을 \(a_n \rm L\) 라 하자. 부등식 \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n \leq 2000\) 이 성립하도록 하는 \(x\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(240\)

어느 강 상류와 하류에 각각 위치한 \(1\) 호 댐과 \(2\) 호 댐이 있다. 강 상류의 \(1\) 호 댐으로부터 \(2\) 호 댐으로 매일 \(100\) 만톤의 물이 유입되고, 정오에 \(2\) 호 댐의 저수량을 측정한다. 정오부터는 측정된 저수량의 \(2%\) 를 농업용수와 생활용수 등을 위하여 강 하류로 방류한다고 한다. 매일 이와 같은 과정이 한없이 반복된다고 할 때, 정오에 측정되는 \(2\) 호 댐의 저수량은 어떤 값에 한없이 가까워지는가? (단 방류는 그날 중으로 이루어지고 자연 증발 및 기타 유실량은 무시한다.)① \(4400\) 톤 ② \(4600\) 톤 ③ \(4800\) 톤 ④ \(5000\) 톤 ⑤ \(5200\) 톤 정답 ④

무한등비수열 \( \left \{ \left ( - \sin \dfrac{k \pi}{4} \right ) ^n \right \}\) 이 수렴하도록 하는 \(10\) 이하의 자연수 \(k\) 의 개수는? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ④

자연수 \(n\) 에 대하여 다음과 같이 제\(n\)행에 \(0\) 과 \(1\) 사이의 유리수 중에서 분모는 \(2^n\) 이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부터 차례로 나열하였다. 제\(1\)행 \(\dfrac{1}{2}\) 제\(2\)행 \(\dfrac{1}{4},\; \dfrac{3}{4}\) 제\(3\)행 \(\dfrac{1}{8}.\; \dfrac{3}{8},\; \dfrac{5}{8}, \; \dfrac{7}{8}\) \(\vdots\) 제 \(n\) 행의 마지막 수를 \(a_n\), 제\(n\)행의 모든 수의 합을 \(b_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\left ( 2^n +1 \right ) a_n}\) 의 값은? ① ..

첫째항이 \(12\) 이고 공비가 \(\dfrac{1}{3}\) 인 등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 수열 \(\{b_n\}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) \(b_1=1\)(나) \(n \geq 1\) 일 때 \(b_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n \left (-b_n , \; b_n^2 \right )\) 을 지나고 기울기가 \(a_n\) 인 직선과 곡선 \(y=x^2\) 의 교점 중에서 \({\rm P}_n \) 이 아닌 점의 \(x\) 좌표이다. \(\lim \limits_{n \to \infty} b_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(19\)

무한수열 \[2+\dfrac{1}{2},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}, \;\; \cdots\]은 수렴하는 것으로 알려져 있다. 다음은 그 극한값을 구하는 과정이다. 주어진 수열을 \(\{a_n\}\) 이라 하면 \(a_1=2+\dfrac{1}{2}\) 이고 이 수열의 극한값을 \(x\) 라고 하면 \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = x, \;\; \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1}=x\) 이므로 \(x=(가)+\dfrac{1}{x}\) 이다. 따라서 구하는 극값값은 \((나)\) 이다. 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? ① ..

다음과 같이 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. \[\left\{ {\begin{array}{ll} {{a_1} = 2}\\ {{a_{n + 1}} = \dfrac{3}{4}{a_n} + 4\;\;\left( {n = 1,\;2,\;3,\; \cdots } \right)} \end{array}\;\;} \right.\] \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\)

자연수 \(n\) 에 대하여 \[S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}k(k+1),\;\; T_n=\sum \limits_{k=1}^{n} (n+k)(n+k+1)\] 일 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{T_n}{S_n}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(7\)

좌표평면 위에서 직선 \(y=\sqrt{3}x\) 가 있다. 자연수 \(n\) 에 대하여 \(x\) 축 위의 점 중에서 \(x\) 좌표가 \(n\) 인 점을 \({\rm P}_n\), 직선 \(y=\sqrt{3}x\) 위의 점 중에서 \(x\) 좌표가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 점을 \({\rm Q}_n\) 이라 하자. 삼각형 \({\rm OP}_n{\rm Q}_n\) 의 내접원의 중심에서 \(x\) 축까지의 거리를 \(a_n\), 삼각형 \({\rm OP}_n{\rm Q}_n\) 의 외접원의 중심에서 \(x\) 축까지의 거리를 \(b_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n = L\) 이다. \(100L\) 의 값을 구하시오. (단 \(\rm O\..

\(a_1=1\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(3a_n -1 >0\) (나) \(3a_{n+1} -1 < \dfrac{1}{2} (3a_n -1)\) \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\) 정답 ②