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목록수열의 극한 (156)
수악중독
그림과 같이 한 변의 길이가 \(6\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 정삼각형 \(\rm ABC\) 의 외심을 \(\rm O\) 라 할 때, 중심이 \(\rm A\) 이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm AO}\) 인 원을 \(O_{\rm A}\) , 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm BO}\) 인 원을 \(O_{\rm B}\), 중심이 \(\rm C\) 이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm CO}\) 인 원을 \(O_{\rm C}\) 라 하자. 원 \(O_{\rm A}\) 와 원 \(O_{\rm B}\) 의 내분의 공통부분, 원 \(O_{\rm A}\) 와 원 \(O_{\rm C}\) 의 내부의 공통부분, 원 \(O_{\r..
그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 \(\rm A_1(0,\;\sqrt{3}), \; B_1(-1,\;0),\; C_1(1,\;0)\) 이 있다. 세 점 \(\rm A_1, \;B_1,\;C_1\) 에 대하여 선분 \(\rm A_1C_1\) 을 \(4:1\) 로 외분하는 점과 \(2:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm A_2, \;B_2\) 라 하고, 삼각형 \(\rm A_2B_2C_2\) 가 정삼각형이 되도록 점 \(\rm C_2\) 를 정한다. 또, 선분 \(\rm A_2C_2\) 를 \(4:1\)로 외분하는 점과 \(2:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm A_3, \;B_3\) 이라 하고, 삼각형 \(\rm A_3B_3C_3\) 이 정삼각형이 되도록 점 \(\rm C_3\) 를 정한다. 이..
그림과 같이 \(\overline{\rm A_1D_1}=2,\; \overline{\rm A_1B_1}=1\) 인 직사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 에서 선분 \(\rm A_1D_1\) 의 중점을 \(\rm M_1\) 이라 하자. 중심이 \(\rm A_1\), 반지름의 길이가 \(\rm A_1B_1\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 을 그리고, 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 의 호 \(\rm B_1M_1\) 이 선분 \(\rm A_1C_1\) 과 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하고, 중심이 \(..
자연수 \(n\) 에 대하여 두 점 \({\rm P}_{n-1}, \; {\rm P}_n\) 이 함수 \(y=x^2\) 의 그래프 위의 점일 떄, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 두 점 \({\rm P}_0, \; \rm P_1\) 의 좌표는 각각 \((0, \;0),\;(1, \;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm P}_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 직선 \({\rm P}_{n-1} {\rm P}_n\) 에 수직인 직선과 함수 \(y=x^2\) 의 그래프의 교점이다. (단, \({\rm P}_n\) 과 \({\rm P}_{n+1}\) 은 서로 다른 점이다.) \(l_n = \overline{{\rm P}_{n-1} {\rm P}_n..
자연수 \(n\) 에 대하여 곡선 \(y=x^2\) 과 직선 \(y=-x+n\) 이 만나서 생기는 두 교점 사이의 거리를 \(l_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to 0} \dfrac{l_n ^2}{n}\) 의 값은? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ④
수열 \(\{a_n\}\) 이 \[7a_1+7^2a_2+\cdots+7^na_n=3^n-1\] 을 만족시킬 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{3^{n-1}}\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{3}\) ② \(\dfrac{4}{9}\) ③ \(\dfrac{5}{9}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(\dfrac{7}{9}\) 정답 ①
그림과 같이 좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 직선 \(y=x+\dfrac{1}{n}\) 과 원 \(x^2+y^2=1\) 이 만나는 두 점을 각각 \({\rm P}_n,\; {\rm Q}_n\) 이라 하자. 삼각형 \({\rm OP}_n{\rm Q}_n\) 의 넓이를 \(A_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} n \cdot A_n\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ② \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\sqrt{2}\) ⑤ \(\sqrt{3}\) 정답 ①
닫힌 구간 \([-2, \;5]\) 에서 정의된 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{|nf(a)-1|-nf(a)}{2n+3}=1\) 을 만족시키는 상수 \(a\) 의 개수는? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ②
자연수 \(n\) 에 대하여 \(1\) 부터 \(6n\) 까지의 자연수의 총합을 \(A_n\), \(1\) 부터 \(6n\) 까지의 자연수 중에서 \(3\) 의 배수를 제외한 자연수의 총합을 \(B_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{A_n}{B_n}=\dfrac{q}{p}\) 이다. 이때, 서로소인 자연수 \(p,\;q\) 의 합 \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 \(5\)
\(a_1=16\) 인 무한등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(\sum \limits_{k=1}^n a_k =S_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^\infty a_n\) 이 발산할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(S_{n+1})^2-(S_n)^2}{S_n}=\alpha\) 이다.\(\alpha+S_{10}\) 의 값을 구하시오. (단, \(\alpha\) 는 상수이다.) 정답 \(192\)