수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정팔각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1 G_1 H_1\) 의 내부에 정사각형 \(\rm A_1 C_1 E_1 G_1\) 과 \(\rm B_1 D_1 F_1 H_1\) 을 그리고 두 정사각형  \(\rm A_1 C_1 E_1 G_1\) 과 \(\rm B_1 D_1 F_1 H_1\) 의 변으로 둘러싸인 삼각형에 색칠하여 얻은 \(8\) 개의 삼각형을 \( T_1\) 이라 하고, 그 \(8\) 개의 삼각형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자.

또 두 정사각형  \(\rm A_1 C_1 E_1 G_1\) 과 \(\rm B_1 D_1 F_1 H_1\) 의 변의 교점을 \(\rm A_2 , \; B_2 ,\; C_2 , \; D_2 , \; E_2 ,\; F_2 , \; G_2 ,\; H_2\) 라 하고 정팔각형 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_2 E_2 F_2 G_2 H_2\) 의 내부에 정사각형  \(\rm A_2 C_2 E_2 G_2\) 과 \(\rm B_2 D_2 F_2 H_2\) 를 그린다. 두 정사각형 \(\rm A_2 C_2 E_2 G_2\) 과 \(\rm B_2 D_2 F_2 H_2\) 의 변으로 둘러싸인 삼각형에 색칠하여 얻은 \(8\) 개의 삼각형을 \(T_2\) 라 하고, 그 \(8\) 개의 삼각형의 넓이의 합을 \(S_2\) 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째에 얻은 도형 \(T_n\) 의 \(8\) 개의 삼각형의 넓이의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

① \(2 \left (\sqrt{3}-1 \right )\)          ② \(\sqrt{2}+1\)          ③ \(\sqrt{3}+1\)

④ \(2\sqrt{2}\)                    ⑤ \(3\sqrt{2}-1\)

  

 

 

정답 ④