수학1_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 직선 $l$ 위의 점 $\rm O_1$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$ 인 반원 $H_1$ 이 있다.

반원 $H_1$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm O_1P$ 와 직선 $l$ 이 $60^{\rm o}$ 의 각을 이룰 때, 반원 $H_1$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선을 $m$ 이라 하고, 직선 $l, \;m$ 의 교점을 $\rm A$ 라 하자.

지름이 선분 $\rm O_1A$ 위에 있고 반원 $H_1$ 과 직선 $m$ 에 동시에 접하는 반원을 $H_2$ 라 하고, 두 반원 $H_1, \; H_2$ 와 직선 $m$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$ 이라 하자.

반원 $H_2$ 의 중심을 $\rm O_2$ 라 할 때, 지름이 $\rm O_2A$ 위에 있고 반원 $H_2$ 와 직선 $m$ 에 동시에 접하는 반원을 $H_3$ 이라 하고, 두 반원 $H_2, \; H_3$ 과 직선 $m$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 $S_n$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

① $2\sqrt{3}- \dfrac{11}{12}\pi$                    ② $3\sqrt{2}- \dfrac{5}{6}\pi$                    ③ $3\sqrt{3}- \dfrac{3}{8}\pi$        

 

④ $3\sqrt{3}- \dfrac{5}{8}\pi$                      ⑤ $3\sqrt{3}- \dfrac{7}{8}\pi$         

 

 

정답 ①