수악중독

중심이 $\rm D$ 인 구에 내접하고 있는 사면체 $\rm OABC$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OA} = \overrightarrow{a}, \; \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}, \; \overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{c} \right | = 4$ (나) 임의의 단위벡터 $\overrightarrow{p}$ 에 대하여 $$ \left ( \overrightarrow{a..

좌표평면 위를 움직이는 점 ${\rm P}(x, y)$ 의 시각 $t$ 에서의 위치가 $$\begin{aligned} x &= \sin t + \cos t \\ y &= \sin t - \cos t \end{aligned} $$이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $t=\pi$ 에서 점 $\rm P$ 의 속력은 $2$ 이다.ㄴ. 임의의 시각 $t$ 에서 점 $\rm P$ 의 속도 $\overrightarrow{v}$ 와 가속도 $\overrightarrow{a}$ 는 서로 수직이다.ㄷ. 점 $\rm P$ 가 $t=0$ 에서 $t=5$ 까지 움직인 거리는 $5\sqrt{2}$ 이다. ① ㄱ ②ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④

그림과 같이 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 꼭짓점 $\rm C$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\overrightarrow{\rm CA} \cdot \overrightarrow{\rm CH}$ 의 값은? (가) 점 $\rm H$ 가 선분 $\rm AB$ 를 $2:3$ 으로 내분한다.(나) $\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}=40$(다) 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이는 $30$ 이다. ① $36$ ② $37$ ③ $38$ ④ $39$ ⑤ $40$ 정답 ①

그림과 같이 선분 $\rm AB$ 위에 $\overline{\rm AE} = \overline{\rm DB}=2$ 인 두 점 $\rm D, \; E$ 가 있다. 두 선분 $\rm AE, \; DB$ 를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 $\rm AE, \; DB$ 가 만나는 점을 $\rm C$ 라 하고, 선분 $\rm AB$ 위에 $\overline{\rm O_1A}= \overline{\rm O_2B}=1$ 인 두 점을 $\rm O_1, \; O_2$ 라 하자. 호 $\rm AC$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 호 $\rm DC$ 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\rm O_1P} + \overrightarrow{\rm O_2Q} \right ..

좌표공간에서 구 \(S\;:\; x^2 +y^2 + (z-3)^2 =4\) 와 평면 \(x-y+z-6=0\) 이 만나성 생기는 원을 \(C\) 라 하자. 구 \(S\) 위의 점 \({\rm A} \left ( \sqrt{2},\; \sqrt{2},\; 3 \right )\) 과 원 \(C\) 위를 움직이는 점 \(\rm B\) 에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OA},\; \overrightarrow{\rm OB}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}\) 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 \(134\)

그림과 같이 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내분에 \(\overline{\rm AC}=1\) 인 점 \(\rm C\) 를 잡고, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내접원의 중심을 \(\rm O'\) 이라 하자. 선분 \(\rm AO'\) 의 연장선과 선분 \(\rm BC\) 의 교점을 \(\rm N\), 반원과의 교점을 \(\rm P\) 라 하고, 선분 \(\rm BC\) 의 중점을 \(\rm M\), 선분 \(\rm AM\) 의 연장선과 선분 \(\rm BP\) 의 교점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}, \; \overrighta..

그림과 같이 꼭짓점이 \(\rm A\), 밑변의 중심이 \(\rm B\) 인 원뿔과 중심이 \(\rm O\) 인 구가 점 \(\rm B\) 에서 접하고 있다. 원뿔의 모선의 길이는 \(5\), 밑면의 반지름의 길이는 \(3\) 이고, 구의 반지름의 길이는 \(4\) 이다. 원뿔의 밑면의 둘레인 원 위의 점 \(\rm P\) 와 구 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AP}\cdot \overrightarrow{\rm AQ}\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(52\)

좌표공간에서 구 \((x-3)^2+(y-2)^2+(z+2)^2=6\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 를 \(x\) 축의 양의 방향으로 \(2\) 만큼 평행이동한 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, \(\overrightarrow{\rm OP}\cdot \overrightarrow{\rm OQ}\) 의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(\rm P\) 의 좌표는 \((a, \;b,\;c)\) 이다. \(a^2+b^2+c^2\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(11\) ② \(19\) ③ \(27\) ④ \(35\) ⑤ \(43\) 정답 ⑤

정의역이 \(\left \{ x | -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \right \}\) 인 함수 \(f(x)=\dfrac{1}{2} \left | \tan x \right |\) 가 있다. \(y\) 축 위의 점 \({\rm A}(0,\;t)\)와 곡선 \(y=f(x)\) 위의 임의의 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에 대하여 항상 \(\overrightarrow{\rm PA}\cdot \overrightarrow{\rm AQ}\leq 0\) 가 성립하도록 하는 실수 \(t\) 의 최댓값은 \(a+b \pi\) 이다. \(80(a-b)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(60\)

평면에서 한 점 \(\rm P\) 에서 만나는 두 삼각형 \(\rm ABP, \; CDP\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AP}=\overline{\rm BP}=2\sqrt{2}\) (나) \(\overline{\rm CP}=\overline{\rm DP}=2\sqrt{5}\) (다) \(\angle \rm APB=\angle \rm CPD=\dfrac{\pi}{4}\) 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm AD}, \; \overrightarrow{\rm BC}\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm BC}=18\sqrt{2}\) 이다. \(\angle \rm APC=\theta\) 라 할..