수악중독

\(z\) 축을 포함하는 평면 \(\alpha\) 와 구 \( (x-4)^2 +(y-4)^2 +(z-2)^2 =4\) 가 오직 한 점에서 만날 때, 그 점을 \(\rm A\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 점 \(\rm P\) 가 나타내는 도형의 길이는 \(l \pi\) 이다. (가) \( \overrightarrow {\rm OA} \cdot \overrightarrow {\rm AP} = 0 \) (나) \(\left| {\overrightarrow {{\rm{OP}}} } \right| = 9\) 이 때, \(l\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 14

좌표공간에서 중심이 점 \(\rm A\)인 구 \((x-2)^2 +(y-1)^2 +(z+1)^2 =\) \(\dfrac{9}{4}\)와 중심이 점 \(\rm B\)인 구 \((x-3)^2 +(y-3)^2 +(z-1)^2 =\) \(\dfrac{27}{4}\)가 만나서 생기는 원을 \(S\)라 하자. 원 \(S\) 위의 두 점 \(\rm P,~Q\)에 대하여 \(\overrightarrow {{\rm{AP}}} \cdot \overrightarrow{{\rm {BQ}}} \)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라고 할 때, \(M-m=\) \(\dfrac{b}{a}\)이다. \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a,~b\)는 서로소인 자연수이다.) 정답 35

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 \(5\)인 정삼각형 \(\rm OAB\)에서 변 \(\rm OB\) 위에 \(\overline{\rm OD} = 4\)인 점 \(\rm D\)를 잡는다. 꼭짓점 \(\rm O\)에서 선분 \(\rm AD\) 위에 내린 수선의 발을 \(\rm H\)라 할 때, \({\overrightarrow{\rm OH}}=l{\overrightarrow{\rm OA}}+m{\overrightarrow{\rm OB}}\)가 성립한다. 두 상수 \( l, \; m\)에 대하여 \(l^2 +m^2 \)의 값은? ① \(\Large \frac{12}{49}\) ② \(\Large \frac{2}{7}\) ③ \(\Large \frac{16}{49}\) ④ \(\Large \frac{18}..

타원 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} =1\) 의 두 초점을 \(\rm F,\; F'\), 타원 위의 한 점을 \(\rm Q\) 라 하자. 내적 \(\overrightarrow{\rm FQ} \cdot \overrightarrow {\rm F'Q}\) 의 값의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M,\; m\) 이라고 할 때, \(M-m\) 의 값은? ① \(12\) ② \(16\) ③ \(20\) ④ \(24\) ⑤ \(28\) 정답 ②