수악중독

중심이 \(\rm O\) 인 원에 내접하는 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 선분 \(\rm AB,\;BC,\;CD\) 의 중점을 각각 \(\rm P,\;Q,\;R\) 이라 하고 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게 중심을 \(\rm G\) 라 하자. 원을 포함하는 평면 위의 한 점 \(\rm H\) 가 \[\overrightarrow{\rm AH}\cdot \overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm BH}\cdot \overrightarrow{\rm CA}=0\] 을 만족시킬 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\overrightarrow{\rm OQ} \cdot \overrightarrow{\rm PR}=0\) ㄴ. \( \overright..

좌표공간 위에 방정식 \[x^2+(y-3)^2=1 \;\;(z\; 는\; 실수)\] 가 나타내는 도형을 \(S\) 라 하자. 도형 \(S\) 와 \(xy\) 평면이 만나서 생기는 도형을 \(C_1\), 도형 \(S\) 와 평면 \(3y-4z=0\) 이 만나서 생기는 도형을 \(C_2\) 라 하자. 두 도형 \(C_1, \;C_2\) 의 중심을 각각 \(\rm O_1, \; O_2\) 라 하고 도형 \(C_1, \; C_2\) 위의 임의의 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 내적 \(\overrightarrow{\rm O_1P} \cdot \overrightarrow{\rm O_2Q}=\dfrac{1}{2}\) 을 만족할 때, 선분 \(\rm PQ\) 의 ..

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 구의 중심 \(\rm O\) 를 지나 세 평면 \(\alpha, \; \beta ,\; \gamma\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{3}\) 이다.(나) 두 평면 \(\beta, \; \gamma \) 가 이루는 예각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{2}\) 이다. 두 점 \(\rm A, \; B\) 는 각각 두 평면 \(\beta , \; \gamma\) 의 교선, 두 평면 \(\gamma, \; \alpha\) 의 교선이 구와 만나는 점이고 호 \(\rm AB\) 의 길이는 \(\dfrac{\pi}{6}\) 이다. 두 평면 \(\alpha , \; \ga..

좌표공간에서 평행한 두 직선 \(g_1 : x=0,\; -y+2=\dfrac{z-1}{2},\; \;g_2\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(g_1\) 위의 한 점과 직선 \(g_2\) 사이의 거리는 \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) 이다. (나) 원점 \(\rm O\) 와 직선 \(g_2\) 사이의 거리는 \(\dfrac{5}{2}\) 이다. 원점 \(\rm O\) 에서 두 직선 \(g_1, \; g_2\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm H_1 , \; H_2\) 라 할 때, 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OH_1}, \; \overrightarrow{\rm OH_2}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm OH_1} \cdot \overri..

좌표평면 위의 점 \({\rm A} (1, \;\sqrt{3} )\) 에 대하여 다음을 만족시키는 점 \(\rm P\) 의 집합을 \(\rm S\) 라 하자. \[\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | =1,\;\; \overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OA} \geq \sqrt{2}\] 점 \({\rm B} \left ( - \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \; \dfrac{1}{2} \right )\) 과 집합 \(S\) 에 속하는 점 \(\rm P\) 에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OB}, \; \overrightarrow{\rm OP}\) 의 내적 \(\overrightarrow..

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 \(y^2 =12x\) 의 초점을 \(\rm F\), 준선과 \(x\) 축의 교점을 \(F'\) 이라 하고, 포물선 위의 점 \(\rm P\) 에서 준선에 내린 수선의 발을 \(\rm H\) 라 하자. \[\overrightarrow{\rm PF} \cdot \overrightarrow{\rm PF'} \leq \overrightarrow{\rm PF'} \cdot \overrightarrow{\rm PH} \] 를 만족시키는 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm OP\) 의 길이의 최댓값은? (단 \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(2\sqrt{10}\) ② \(\sqrt{42}\) ③ \(3\sqrt{5}\) ④ \(4\sqrt{3}\) ⑤ \(5\sq..

좌표공간 위의 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm A} \left ( 0,\; -\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \) 에 대하여 점 \(\rm B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( \left | \overrightarrow {\rm OB} \right | = \dfrac{1}{2} \left | \overrightarrow{\rm OA} \right | \) (나) \(\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}}{\left | \overrightarrow{\rm OA} \right | \left | \overrightarrow{\rm O..

좌표공간에서 네 점 \(\rm A_0 ,\; A_1 ,\; A_2 ,\; A_3\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\left | \overrightarrow{\rm A_0 A_2} \right | = \left | \overrightarrow{\rm A_1 A_3} \right |=2\) (나) \(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm A_0 A_3} \cdot \left ( \overrightarrow {\rm A_0 A_{\it k}} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm A_0 A_3} \right ) = \cos \dfrac{3-k}{3}\pi \;\; (k=1,\;2,\;3)\) \(\left | \overrightarrow{\rm A_1 ..

평면 위의 두 벡터 \(\overrightarrow{a},\; \overrightarrow{b}\) 는 서로 수직이고, \( \left | \overrightarrow {a} \right | = \left | \overrightarrow{b} \right | = 1\) 이다. 또, 평면 위의 임의의 벡터 \(\overrightarrow {x}\) 에 대하여 \[\overrightarrow{p} = \left ( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x} \right ) \overrightarrow{a},\;\;\;\;\overrightarrow{q}=\left ( \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} \right ) \overr..

그림과 같이 \(\overline{ \rm AB} = \overline {\rm AD} =8\) 이고, \(\angle{\rm DAB}=60^o\) 인 평행사변형 \(\rm ABCD\) 가 있다. 변 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm M\)이라 할 때, 변 \(\rm AD\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 와 변 \(\rm BC\) 위를 움직이는 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\angle {\rm PMQ} =90^o\) 가 성립한다. 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm MP},\; \overrightarrow{\rm QD} \) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm MP} \cdot \overrightarrow{\rm QD}\) 의 값이 최소일 때, 두 벡터 \(\..