수악중독

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(1 \leq f'(x) \leq 3\) 이다. (나) 모든 정수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 점 \((4n, \;8n)\), 점 \((4n+1, \;8n+2)\), 점 \( (4n+2, \;8n+5)\), 점 \( (4n+3, \;8n+7)\) 을 모두 지난다. (다) 모든 정수 \(k\) 에 대하여 닫힌 구간 \([2k, \; 2k+1]\) 에서 함수 \(f(x)\) 의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다. \(\displaystyle \int_{3}^{6} f(x) dx=a\) 라 할 때, \(6a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(167\)

함수 \(f(x)\) 가 다음과 같다. \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{ - 3x + a}\\ {{x^3} + b{x^2} + cx}\\ { - 3x + d} \end{array}\;\;\;\;\begin{array}{ll} {\left( {x

좌표평면에서 삼차함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx\) 와 실수 \(t\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t, \;f(t))\) 에서 접선이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm P\) 라 할 때, 원점에서 점 \(\rm P\) 까지의 거리를 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(f(x)\) 와 함수 \(g(t)\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(1)=2\) (나) 함수 \(g(t)\) 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. \(f(3)\) 의 값은? (단, \(a, \;b\) 는 상수이다.) ① \(21\) ② \(24\) ③ \(27\) ④ \(30\) ⑤ \(33\) 정답 ④

두 함수 \(f(x)=xe^{-x+a}\) 와 \(g(x)=-x+b\) 에 대하여 함수 \(y=|f(x)-g(x)|\) 가 모든 실수 \(x\) 에서 미분가능하도록 상수 \(a, \;b\) 의 값을 정하 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x}=0\) 이다.) 정답 \(6\)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 와 이계도함수를 갖는 함수 \(g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 등식 \[g''(x)=|\sin x|f(x)\] 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 점 \((0, \;g(0))\) 이 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이면 \(f(0)=0\) 이다. ㄴ. 점 \((0,\; g(0))\) 이 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이면 함수 \(g''(x)\) 는 \(x=0\) 에서 미분가능하다. ㄷ. 함수 \(g''(x)\) 가 \(x=0\) 에서 미분가능하면 점 \((0,\; g(0))\) 은 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{x - \sqrt x }&{\left( {x \ge 0} \right)}\\ {x - \sqrt { - x} }&{\left( {x < 0} \right)} \end{array}} \right.\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 \(x\) 축과 서로 다른 두 점에서 만난다. ㄴ. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 \(x=1\) 인 점에서의 접선의 기울기는 \(1\) 이다. ㄷ. \(f'(0)\) 의 값이 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ 정답 ①

자연수 \(a, \;b\) 에 대하여 함수 \(f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{n+b}+2x-1}{x^n+1} \;\;(x>0)\) 이 \(x=1\) 에서 미분가능할 때, \(a+10b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(21\)

역함수가 존재하는 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(a)=0 \;(1

삼차함수 \(f(x)=x^3+6x^2+15x+a\) 와 실수 \(t\) 에 대하여 \(f(t)\) 와 \(f'(t)\) 중 크지 않은 값을 \(g(t)\) 라 하자. \(g(t)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분 가능할 때, \(a\) 의 값은? ① \(10\) ② \(12\) ③ \(14\) ④ \(16\) ⑤ \(18\) 정답 ④

그림과 같이 구간 \([0,\;5]\) 를 정의역으로 하는 두 함수 \(f(x),\;g(x)\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?ㄱ. 함수 \(\dfrac{g(x)}{f(x)}\) 는 \(x=2\) 에서 연속이다. ㄴ. 함수 \((g \circ f)(x)\) 는 \(x=1\) 에서 연속이다.ㄷ. 함수 \(f(x)g(x)\) 는 \(x=4\) 에서 미분가능하다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤