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함수 $f(x)=e^{x+1}-1$ 과 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = 100|f(x)| - \sum \limits_{k=1}^n \left | f \left ( x^k \right ) \right |$$ 이라 하자. $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 39
$0 \le t \le 2 \pi$ 인 실수 $t$ 에 대하여 함수 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\sqrt 3 x + \sin 2x + k}&{\left( {0 \le x < t} \right)}\\{\sqrt 3 x + \sin 2x}&{\left( {t \le x \le 2\pi } \right)}\end{array}} \right.$$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 열린 구간 $(0, \; 2\pi)$ 에서 함수 $g(t)$ 의 미분가능하지 않은 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값은 $p\sqrt{3}\pi +q$ 이다. $24 \times (p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $0
최고차항의 계수가 $-1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(0)=f'(0)=0$(나) 방정식 $f(x)=0$ 은 양의 실근을 갖는다. 양수 $t$ 와 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를$$g(x) = \left \{ {\begin{array}{ll}{ f(x)}&{(x \le 0, \; x \ge t)}\\{\dfrac{f(t)}{t}x}&{\left( {0 < x < t} \right)}\end{array}} \right.$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 가 오직 한 개 존재하도록 하는 모든 양수 $t$ 의 값의 합이 $\dfrac{15}{2}$ 일 때, $f(-4)$ 의 값을 구하시오. 정답 $144$
다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 음수인 모든 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(1)$ 의 최댓값은? (가) 방정식 $f(x)=0$ 의 실근은 $0, \;2, \;3$ 뿐이다.(나) 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)$와 $|x(x-2)(x-3)|$ 중 크지 않은 값을 $g(x)$ 라 할 때, 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. ① $\dfrac{7}{6}$ ② $\dfrac{4}{3}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $\dfrac{11}{6}$ 정답 ②
다항함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^4}=1$(나) $f(1)=f'(1)=1$ $-1 \le n \le 4$ 인 정수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x-n)+n \; (n \le x < n+1)$$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 가 열린구간 $(-1, \;5)$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle \int_0^4 g(x)dx=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $137$
함수 $f(x)$ 는 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{x + 1}&{\left( {x < 1} \right)}\\{ - 2x + 4}&{\left( {x \ge 1} \right)}\end{array}} \right.$$ 이고, 좌표평면 위에 두 점 $\rm A(-1, \;-1), \;\; B(1, \;2)$ 가 있다. 실수 $x$ 에 대하여 점 $(x, \;f(x))$ 에서 점 $\rm A$ 까지의 거리의 제곱과 점 $\rm B$ 까지의 거리의 제곱 중 크지 않은 값을 $g(x)$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하지 않은 모든 $a$ 의 값의 합이 $p$ 일 때, $80p$ 의 값을 구하시오. 정답 $186$
함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{e^x} + k}&{\left( {x \ge 0} \right)}\\{ - {x^2}}&{\left( {x < 0} \right)}\end{array}} \right.\) 가 다음 조건을 만족하도록 하는 정수 \(k\) 의 개수는? (가) 함수 \(g(x)\) 는 모든 실수에서 연속이다. (나) 함수 \(g(x)\) 는 미분가능하지 않은 점이 \(2\) 개다. ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ①
함수 \(f(x)=2kx^2-kx^3 \;(k>0)\) 과 실수 \(t\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t,\; f(t))\) 에서의 \(x\) 축까지의 거리와 \(y\) 축까지의 거리 중 크지 않은 값을 \(g(t)\) 라 하자. \(g(t)\) 가 세 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 \(k\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(\dfrac{3}{4}\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{5}{4}\) 정답 ④
다음 의 함수 중 \(x=0\) 미분 가능한 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}x&{\left( {x \ge 0} \right)}\\{ - x}&{\left( {x < 0} \right)}\end{array}} \right.\) ㄴ. \(g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}&{\left( {x \ge 0} \right)}\\{2x + 1}&{\left( {x < 0} \right)}\end{array}} \right.\) ㄷ. \(h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{x^2} +..
삼차함수 \(f(x)=x^3+3x^2-9x\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \[g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{f\left( x \right)}\\{m - f\left( x \right)}\\{n + f\left( x \right)}\end{array}} \right.\begin{array}{ll}{\;\;\;\left( {x < a} \right)}\\{\;\;\;\left( {a \le x < b} \right)}\\{\;\;\;\left( {x \ge b} \right)}\end{array}\] 로 정의한다. 함수 \(g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 미분 가능 하도록 상수 \(a, \; b\) 와 \(m, \;n\) 의 값을..