수악중독

다음 조건을 만족하는 점 \(\rm P\) 전체의 집합이 나타내는 도형의 둘레의 길이는? 좌표공간에서 점 \(\rm P\) 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구가 두 개의 구 \[ x^2+y^2+z^2=1\] \[(x-2)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=4\] 에 동시에 외접한다. ① \(\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\pi\) ② \(\sqrt{5}\pi\) ③ \(\dfrac{5\sqrt{5}}{3}\pi\) ④ \(2\sqrt{5}\pi\) ⑤ \(\dfrac{8\sqrt{5}}{3}\pi\) 정답 ⑤

다음 그림과 같은 직원뿔 모양의 산이 있다. \(\rm A\) 지점을 출발하여 산을 한 바퀴 돌아 \(\rm B\) 지점으로 가는 관광열차의 궤도를 최단거리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오르막길이지만 나중에는 내리막길이 된다. 이 내리막길의 길이는? ① \(\dfrac{200}{\sqrt{91}}\) ② \(\dfrac{300}{\sqrt{30}}\) ③ \(\dfrac{300}{\sqrt{91}}\) ④ \(\dfrac{400}{\sqrt{30}}\) ⑤ \(\dfrac{400}{\sqrt{91}}\) 정답 ⑤

아래 그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(12\) 인 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 가 있다. 모서리 \(\rm BF, \; DH\) 를 \(1:3\) 으로 내분하는 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하고, 세 점 \(\rm P, \;Q,\;G\) 를 지나는 평면으로 정육면체를 잘랐을 때, 생기는 단면의 넓이는? ① \(24\sqrt{34}\) ② \(26\sqrt{34}\) ③ \(28\sqrt{34}\) ④ \(30\sqrt{34}\) ⑤ \(32\sqrt{34}\) 정답 ③

좌표공간에서 구 \(S\;:\;(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 에서 구 \(S\) 에 접하는 평면이 구 \(x^2+y^2+z^2=16\) 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 \(\left ( a+b\sqrt{3} \right ) \pi\) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b\) 는 자연수이다.) 정답 \(13\) \(\therefore a+b=13\)

\(x\) 축을 교선으로 갖는 두 평면이 구 \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=4\) 위의 두 점 \(\rm A,\;B\) 에서 접한다. 구의 중심을 \(\rm C,\; \triangle CAB\) 의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(10S\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\) 위의 풀이를 보시면 아시겠지만 이 문제는 yz 평면에 정사영 시켜서 풀어도 됩니다. 즉, y축과 z축으로 이루어진 2차원 평면위에서 생각해도 삼각형 ABC 의 넓이에는 변화가 없음을 이용하는 것이지요. 이렇게 생각한다면 다음과 같은 풀이도 가능하게 됩니다.

그림과 같이 밑면의 반질므의 길이가 \(5\) 인 원기둥이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원기둥의 내부에 중심이 점 \(\rm A\) 이고 반지름의 길이가 \(3\) 인 구 \(S_1\) 이 원기둥의 밑면과 옆면에 내접하며 놓여있다. 평면 \(\alpha\) 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\rm O\) 라 할 때, 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구 \(S_2\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 구 \(S_2\) 는 원기둥과 구 \(S_1\) 에 모두 접한다. (나) 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\rm A', \; B'\) 일 때, \(\angle \rm A'OB'=120^{\rm o}\) 이다..

그림과 같이 태양광선이 지면과 \(60^{\rm o}\) 의 각을 이루면서 비추고 있다. 한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고, 태양광선과 \(30^{\rm o}\) 의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를 \(S\) 라 하자. \(S\) 의 값을 \(\dfrac{\sqrt{3}(a+b\pi)}{3}\) 라 할 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b\) 는 정수이고 판의 두께는 무시한다.) 정답 \(30\)

그림과 같이 \(\overline{\rm EF}=3, \; \overline{\rm FG}=2\) 이고, 투명한 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 안에 반지름의 길이가 \(1\) 인 두 구 \(P, \;Q\) 가 들어 있다. 구 \(P\) 는 평면 \(\rm AEHD, \; EFGH\) 와 접하고, 구 \(Q\) 는 평면 \(\rm BFGC\) 와 접하고, 두 구는 외접하고 있다. 태양광선이 평면 \(\rm EFGH\) 와 \(30^{\rm o}\) 를 이루면서 두 구 \(P, \;Q\) 를 비춘다고 할 때, 지면에 두 구에 의해 생긴 그림자의 넓이가 \(a\pi+b\sqrt{3}\) 이다. 두 유리수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(30(a+b)\) 의 값을 구하시오. (단, 태양광선은 평면 ..

그림과 같은 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 모서리 \(\rm BF\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm I\) , 모서리 \(\rm DH\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\rm J\) 라 하자. 면 \(\rm IGJ\)와 밑면 \(\rm EFGH\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta = \dfrac{q}{p}\sqrt{14}\) 이다. 이때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(17\)

그림과 같이 중심 사이의 거리가 \(\sqrt{3}\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 두 원판과 평면 \(\alpha\) 가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 \(l\) 은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각의 크기가 \(60^{\rm o}\) 이다. 태영광선이 그림과 같이 평면 \(\alpha\) 에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평면 \(\alpha\) 에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.) ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi+\dfrac{3}{8}\) ② \(\dfrac{2}{3}\pi+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) ③ \(\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\pi+\dfrac{1}{8}\) ④ ..