기하와 벡터_공간도형_직선과 평면이 이루는 각_난이도 중

그림과 같이 밑면의 반질므의 길이가 \(5\) 인 원기둥이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원기둥의 내부에 중심이 점 \(\rm A\) 이고 반지름의 길이가 \(3\) 인 구 \(S_1\) 이 원기둥의 밑면과 옆면에 내접하며 놓여있다. 평면 \(\alpha\) 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\rm O\) 라 할 때, 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구 \(S_2\) 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 구 \(S_2\) 는 원기둥과 구 \(S_1\) 에 모두 접한다.

(나) 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\rm A', \; B'\) 일 때, \(\angle \rm A'OB'=120^{\rm o}\) 이다.

 

직선 \(\rm AB\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\tan^2 \theta=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.)

 

 

정답 \(25\)