수악중독

그림과 같이 직선 $l$ 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{4}$ 인 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 있고, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm A$ 와 평면 $\beta$ 위의 점 $\rm B$ 가 있다. 두 점 $\rm A, \; B$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. $\overline{\rm AB}=2, \;\; \overline{\rm AD}=\sqrt{3}$ 이고 직선 $\rm AB$ 와 평면 $\beta$ 가 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{6}$ 일 때, 사면체 $\rm ABCD$ 의 부피는 $a+ b \sqrt{2}$ 이다. $36(a+b)$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$

그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\) 인 정팔면체 \(\rm ABCDEF\) 가 있다. 두 삼각형 \(\rm ABC, \; CBF\) 의 평면 \(\rm BEF\) 위로의 정사영의 넓이를 각각 \(S_1, \; S_2\) 라 할 때, \(S_1 + S_2\) 의 값은?① \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) ② \(\sqrt{3}\) ③ \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) ④ \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) ⑤ \(2\sqrt{3}\) 정답 ①

그림과 같이 \(\overline{\rm AB} =9,\; \overline{\rm BC} =12,\; \cos(\angle {\rm ABC}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 인 사면체 \(\rm ABCD\) 에 대하여 점 \(\rm A\) 의 평면 \(\rm BCD\) 위로의 정사영을 \(\rm P\) 라 하고 점 \(\rm A\) 에서 선분 \(\rm BC\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\cos(\angle {\rm AQP}) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\) 일 때, 삼각형 \(\rm BCP\) 의 넓이는 \(k\) 이다. \(k^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(162\)

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=5,\; \overline{\rm BC}=2\sqrt{7}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 \(xy\) 평면 위에 있고, 점 \(\rm P(1, \; 1,\; 4)\) 의 \(xy\) 평면 위로의 정사영 \(\rm Q\) 는 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심과 일치한다. 점 \(\rm P\) 에서 직선 \(\rm BC\) 까지의 거리는?① \(3 \sqrt{2}\) ② \(\sqrt{19}\) ③ \(2\sqrt{5}\) ④ \(\sqrt{21}\) ⑤ \(\sqrt{22}\) 정답 ①

그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(5\) 인 정육면체 \( \rm ABCD-EFGH\) 에서 \(\overline{\rm EF}\) 의 중점을 \(\rm M\) 이라 하자. 평면 \(\rm DCGH\) 위의 동점 \(\rm P\), \(\overline{\rm BM}\) 위의 동점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{\rm AP}+ \overline{\rm PQ}\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 할 때, \(m^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(120\)

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=2\) 이고 \(\overline{\rm AD}=4\) 인 등변사다리꼴 \(\rm ABCD\) 가 있다. 점 \(\rm A\) 는 평면 \(\alpha\) 위의 점이고, 점 \(\rm C\) 에서 평면 \(\alpha\) 에 이르는 거리는 \(3\) 이다. 직선 \(\rm BD\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 예각의 크기가 \(30^{\rm o}\) 일 때, 점 \(\rm D\) 에서 평면 \(\alpha\) 에 이르는 거리는 \(a+b\sqrt{3}\) 이다. \(9(a+b)\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 유리수이다.) 정답 \(24\)

두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 의 교선 위에 두 점 \(\rm A, \;B\) 가 있고 \(\overline{\rm AB}=13\) 이다. 평면 \(\alpha\) 위의 점 \(\rm C\) 에 대하여 삼각형 \(\rm ABC\) 는 \(\angle \rm C=90^{\rm o}\) 인 직각삼각형이고, 점 \(\rm C\) 의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(\rm C'\) 이라 할 때, \(\overline{\rm AC'}=2\sqrt{35},\; \overline{\rm BC'}=\sqrt{21}\) 이다. 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\sin \theta=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+..

평면 \(\alpha\) 위에 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 원 \(C\) 가 있다. 직선 \(l\) 은 평면 \(\alpha\) 와 \(45^{\rm o}\) 의 각을 이루고, 직선 \(l\) 과 점 \(\rm O\) 사이의 거리는 \(2\) 이다. 점 \(\rm O\) 를 지나고 \(\alpha\) 에 수직인 직선이 \(l\)과 만날 때, \(l\) 을 포함하고 \(C\)와 한 점에서 만나는 두 평면이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 하자. \(\cos ^2 \theta = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(10\)

그림과 같이 평면 \(\alpha\) 와 교선 \(\rm A_1A_4\) 를 갖고, \(\angle \rm A_2=90^{\rm o}\) 인 사각형 \(\rm A_1A_2A_3A_4\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{{\rm A}_k{\rm A}_{k+1}}=5-k \;\; (k=1,\;2,\;3)\) (나) 평면 \(\alpha\) 와 선분 \({\rm A}_k{\rm A}_{k+1}\) 이 이루는 각을 \(\theta_k\) 라 할 때, \(\sin \theta_k=\dfrac{k}{6}\) 이다. (\(k=2, \;3\)) \(\angle \rm A_4=\theta\) 라 하자. \(20 \tan ^2 \theta\) 의 값을 구하시오. 정답 \(45\)

평면 \(\alpha\) 위의 점 \(\rm A\) 와 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 두 점 \(\rm B,\;C\) 에 대하여 직선 \(\rm AB\) 와 직선 \(\rm BC\) 가 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각은 각각 \(30^{\rm o}\) 이고, 직선 \(\rm AC\) 가 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각은 \(45^{\rm o}\) 이다. \(\overline{\rm AB}=4\) 이고, 선분 \(\rm AC\) 위의 한 점 \(\rm P\) 가 \(\overline{\rm BP}=\overline{\rm CP},\; \overline{\rm BP} \parallel \alpha\) 를 만족시킬 때, \(\overline{\rm AC}^2\) 의 값을 구하시오. (..