수악중독

주머니에 숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4$ 가 하나씩 적혀 있는 흰 공 $4$ 개와 숫자 $4, \; 5, \; 6, \; 7$ 이 하나씩 적혀 있는 검은 공 $4$ 개가 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다. 주머니에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼내어 꺼낸 공이 서로 다른 색이면 $12$ 를 점수로 얻고, 꺼낸 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 두 공에 적힌 수의 곱을 점수로 얻는다. 이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 $24$ 이하의 짝수일 확률이 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $51$

전체집합 $U=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6\}$ 의 두 부분집합 $A, \; B$ 에 대하여 $$n(A \cup B)=5, \quad A \cap B = \varnothing$$ 을 만족시키는 집합 $A, \; B$ 의 모든 순서쌍 $(A, \; B)$ 의 개수는? ① $168$ ② $174$ ③ $180$ ④ $186$ ⑤ $192$ 더보기 정답 ⑤

세 학생 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 를 포함한 $7$ 명의 학생이 있다. 이 $7$ 명의 학생 중에서 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 를 포함하여 $5$ 명을 선택하고, 이 $5$ 명의 학생 모두를 일정한 간격으로 원 모양의 탁자에 둘러앉게 하는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) ① $120$ ② $132$ ③ $144$ ④ $156$ ⑤ $168$ 더보기 정답 ③ ${}_4\mathrm{C}_2 \times 4! = 6 \times 24 = 144$

방정식 $3x+y+z+w=11$ 을 만족시키는 자연수 $x, \; y, \; z, \; w$ 의 모든 순서쌍 $(x, \; y, \; z, \; w)$ 의 개수는? ① $24$ ② $27$ ③ $30$ ④ $33$ ⑤ $36$ 더보기 정답 ②

양수 $a$ 에 대하여 $\left ( ax - \dfrac{2}{ax} \right )^7$ 의 전개식에서 각 항의 계수의 총합이 $1$ 일 때, $\dfrac{1}{x}$ 의 계수는? ① $70$ ② $140$ ③ $210$ ④ $280$ ⑤ $350$ 더보기 정답 ④

숫자 $1, \; 1, \; 2, \; 2, \; 2, \; 3, \; 3, \; 4$ 가 하나씩 적혀 있는 $8$ 장의 카드가 있다. 이 $8$ 장의 카드 중에서 $7$ 장을 택하여 이 $7$ 장의 카드 모두를 일렬로 나열할 때, 서로 이웃한 $2$ 장의 카드에 적혀 있는 수의 곱 모두가 짝수가 되도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) ① $264$ ② $268$ ③ $272$ ④ $276$ ⑤ $280$ 더보기 정답 ①

두 집합 $$X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7, \; 8\}, \; Y=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수 $f$ 의 개수를 구하시오. (가) $f(4)=f(1)+f(2)+f(3)$ (나) $2f(4)=f(5)+f(6)+f(7)+f(8)$ 더보기 정답 $523$

세 문자 $a, \; b, \; c$ 중에서 중복을 허락하여 각각 $5$ 개 이하씩 모두 $7$ 개를 택해 다음 조건을 만족시키는 $7$ 자리의 문자열을 만들려고 한다. (가) 한 문자가 연달아 $3$ 개 이어지고 그 문자는 $a$ 뿐이다. (나) 어느 한 문자도 연달아 $4$ 개 이상 이어지지 않는다. 예를 들어, $baaacca, \; ccbbaaa$ 는 조건을 만족시키는 문자열이고 $aabbcca, \; aaabccc, \; ccbaaaa$ 는 조건을 만족시키지 않는 문자열이다. 만들 수 있는 모든 문자열의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $188$

$5$ 명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) ① $16$ ② $20$ ③ $24$ ④ $28$ ⑤ $32$ 더보기 정답 ③ $(5-1)!=4!=24$

문자 $\mathrm{A, \; A, \; A, \; B, \; B, \; B, \; C, \; C}$ 가 하나씩 적혀 있는 $8$ 장의 카드를 모두 일렬로 나열할 때, 양 끝 모두에 $\mathrm{B}$ 가 적힌 카드가 놓이도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 문자가 적혀 있는 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) ① $45$ ② $50$ ③ $55$ ④ $60$ ⑤ $65$ 더보기 정답 ④