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목록수학2 - 문제풀이/미분 (140)
수악중독
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=-f(x)$ 를 만족시킨다. 양수 $t$ 에 대하여 좌표평면 위의 네 점 $(t, \; 0)$, $(0, \; 2t)$, $(-t, \; 0)$, $(0, \; -2t)$ 를 꼭짓점으로 하는 마름모가 곡선 $y=f(x)$ 와 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 는 $t=\alpha, \; t=8$ 에서 불연속이다. $\alpha^2 \times f(4)$ 의 값을 구하시오. (단, $\alpha$ 는 $0
두 함수 $$f(x)=x^2+2x+k, \quad g(x)=2x^3-9x^2+12x-2$$에 대하여 함수 $(g \circ f)(x)$의 최솟값이 $2$가 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값은? ① $1$ ② $\dfrac{9}{8}$ ③ $\dfrac{5}{4}$ ④ $\dfrac{11}{8}$ ⑤ $\dfrac{3}{2}$ 더보기 정답 ⑤
두 함수 $$f(x)=x^3-kx+6, \quad g(x)=2x^2-2$$에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $k=0$일 때, 방정식 $f(x)+g(x)=0$은 오직 하나의 실근을 갖는다. ㄴ. 방정식 $f(x)-g(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $k$의 값은 $4$뿐이다. ㄷ. 방정식 $|f(x)|=g(x)$의 서로 다른 실근의 개수가 $5$가 되도록 하는 실수 $k$가 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ②
두 다항함수 $f(x), \; g(x)$ 가 $$\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)-a+2}{x-1}=4, \quad \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)+a-2}{x-1}=a$$ 를 만족시킨다. 함수 $f(x)g(x)$ 의 $x=1$ 에서의 미분계수가 $-1$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③
삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0, \; 0)$ 에서의 접선과 곡선 $y=xf(x)$ 위의 점 $(1, \; 2)$ 에서의 접선이 일치할 때, $f'(2)$ 의 값은? ① $-18$ ② $-17$ ③ $-16$ ④ $-15$ ⑤ $-14$ 더보기 정답 ⑤
최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 $3$ 보다 작은 실수 $a$ 에 대하여 함수 $g(x)=|(x-a)f(x)|$ 가 $x=3$ 에서만 미분가능하지 않다. 함수 $g(x)$ 의 극댓값이 $32$ 일 때, $f(4)$ 의 값은? ① $7$ ② $9$ ③ $11$ ④ $13$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ①
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2f(x)=g(x)-g(-x)$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이다.) ㄱ. $a^2 \le 3b$ ㄴ. 방정식 $f'(x)=0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 $f'(x)=0$ 이 실근을 가지면 $g'(1)=1$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ①
함수 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 10x$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$f(x)+|f(x)+x|=6x+k$$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 모든 정수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $21$
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=f(x-3) \times \lim \limits_{h \to 0+} \dfrac{|f(x+h)|-|f(x-h)|}{h}$$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(5)$ 의 값을 구하시오. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) 방정식 $g(x)=0$ 은 서로 다른 네 실근 $\alpha_1 , \; \alpha_2, \; \alpha_3, \; \alpha_4$ 를 갖고 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4=7$ 이다. 더보기 정답 $108$