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목록수학1- 문제풀이/수열 (179)
수악중독
공차가 $2$ 이고 모든 항이 양수인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^8 \dfrac{1}{a_{2k-1}a_{2k+1}}=\dfrac{1}{18}$ 일 때, $a_1$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④
첫째항이 $1$ 이고 공비가 $r$ 인 등비수열 $\{a_n\}$ 이 $$\sum \limits_{k=1}^5 a_{2k-1}=3 \sum \limits_{k=1}^5 a_{2k}$$ 를 만족시킬 때, $\sum \limits_{k=1}^5 a_k =\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값은? (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) ① $200$ ② $202$ ③ $204$ ④ $206$ ⑤ $208$ 더보기 정답 ②
수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(3n+2)(5n+3)$ 을 $3$ 과 $5$ 로 나누어 떨어지지 않도록 하는 자연수 $n$ 을 작은 것부터 순서대로 나열한 수열이다. $\sum \limits_{k=1}^{32} a_k$ 의 값은? ① $972$ ② $974$ ③ $976$ ④ $978$ ⑤ $980$ 더보기 정답 ①
수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} 2a_n -2 & (a_n \ge n) \\ -4a_n + 3n & (a_n < n)\end{cases}$$ 을 만족시킨다. $a_3
그림과 같이 곡선 $y=2^x-1$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서 $x$ 축에 평행한 직선과 $y$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y=2^{2x}$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B, \; C}$, 직선 $\mathrm{AC}$ 가 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. 자연수 $k$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}}=k$ 라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^4 \dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\overline{\mathrm{AD}}}$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$ 의 $x$ 좌표는 $1$ 보다 크다.) 더보기 정답 $340$
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1}=2a_n+1$$ 을 만족시킨다. $a_4 = 31$ 일 때, $a_2$ 의 값은? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ①
모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$a_3=4a_1+3a_2$$ 일 때, $\dfrac{a_6}{a_4}$ 의 값은? ① $10$ ② $12$ ③ $14$ ④ $16$ ⑤ $18$ 더보기 정답 ④
첫째항이 $\dfrac{1}{5}$ 이고 공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $a_4 = 4a_2$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^n a_k = \dfrac{3}{13} \sum \limits_{k=1}^n a_k^2$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 값은? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ②
자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위의 점 $(n, \; 0)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원을 $O_n$ 이라 하자. 점 $(-1, \; 0)$ 을 지나고 원 $O_n$ 과 제$1$사분면에서 접하는 직선의 기울기를 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^5 a_n^2$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $\dfrac{23}{42}$ ③ $\dfrac{25}{42}$ ④ $\dfrac{9}{14}$ ⑤ $\dfrac{29}{42}$ 더보기 정답 ③
네 수 $x, \; 7, \; y, \; 13$ 이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $x+2y$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $24$ 등차중항을 이용하면 $2 \times 7 = x+ y$ $2y=7+13$ 이므로 $y=10$, $x=4$ $\therefore x+2y=24$ (다른 풀이) 수열 $\{a_n\}$ 의 공차를 $d$ 라고 하면 $2d = 13 -7$ $\therefore d=3$ $x=7-3=4$ $y=7+3=10$ $\therefore x+2y=24$