수악중독

자연수 $n$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{nx}{x^n+1} & (x \ne -1) \\[10pt] -2 & (x=-1) \end{cases}$$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $n=3$ 일 때, 함수 $f(x)$ 는 구간 $(- \infty, \; -1)$ 에서 증가한다. ㄴ. 함수 $f(x)$ 가 $x=-1$ 에서 연속이 되도록 하는 $n$ 에 대하여 방정식 $f(x)=2$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. 구간 $(-1, \; \infty)$ 에서 함수 $f(x)$ 가 극솟값을 갖도록 하는 $10$ 이하의 모든 자연수 $n$ 의 값의 합은 $24$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ..

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm C$ 에 대하여 $\rm \angle PAC = \theta$ 일 때, $\rm \angle APC = 2 \theta$ 이다. $\rm \angle ADC = \angle PCD = \dfrac{\pi}{2}$ 인 점 $\rm D$ 에 대하여 두 선분 $\rm AP$ 와 $\rm CD$ 가 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. 삼각형 $\rm DEP$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은 (단, $0 < \theta <..

닫힌구간 $[-4, \; 4]$ 에서 정의된 함수 $$f(x) = \begin{cases} -(x+2)^2 & (-4 \le x < 0) \\ (x-2)^2 & (0 \le x \le 4) \end{cases}$$ 가 있다. 그림과 같이 $0

사각형 $\rm ABCD$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=2$ (나) $\sin \left ( \angle \rm BCD \right ) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ 이고, $\angle \rm ABC = 2 \angle BCD$ 이다. 사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이는? ① $\dfrac{8}{5}+\dfrac{4 \sqrt{5}}{5}$ ② $\dfrac{8}{5}+\dfrac{21 \sqrt{5}}{5}$ ③ $\dfrac{8}{5}+\dfrac{22 \sqrt{5}}{25}$ ④ $\dfrac{8}{5}+\dfrac{23 \sqrt{5}}{25}$ ⑤ $\dfrac{8}{5}+..

$1$ 이 아닌 양수 $a$ 와 함수 $f(x)=a^{x-1}$ 이 있다. 점 ${\rm A}(0, \; a)$ 를 지나고 $y$ 축에 수직인 직선이 두 곡선 $y=f(x), \; y=f'(x)$ 와 각각 서로 다른 점에서 만날 때, 이 두 교점 중 $x$ 좌표가 작은 것을 $\rm B$, $x$ 좌표가 큰 것을 $\rm C$ 라 하자. 점 $\rm B$ 가 선분 $\rm AC$ 의 중점일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $2.7

함수 $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin ^2 x} $ 와 함수 $g(x)$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x^2} = 240$ 일 때, $\lim \limits_{x \to 0} f(2x) g \left ( \dfrac{x}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $30$

다음 조건을 만족시키는 실수 $a, \; b$ 에 대하여 $ab$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$-e^{-x+1} \le ax+b \le e^{x-2}$$ 이 성립한다. $\left | M \times m^3 \right | = \dfrac{q}{p} $ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $43$

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=1, \; \overline{\rm BC}=2$ 인 두 선분 $\rm AB, \; BC$ 에 대하여 선분 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$, 점 $\rm M$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 중심이 $\rm M$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm MH}$ 인 원의 선분 $\rm AM$ 과 만나는 점을 $\rm D$, 선분 $\rm HC$ 가 선분 $\rm DM$ 과 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. $\angle \rm ABC = \theta$ 라 할 때, 삼각형 $\rm CDE$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm MEH$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim ..

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 $0 \le x

두 양수 $a, \; b\; (b0)\end{cases}$$ 이라 하자. 양수 $m$ 에 대하여 직선 $y=mx$ 와 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $g(m)$ 이라 할 때, 함수 $g(m)$ 은 다음 조건을 만족시킨다. $\lim \limits_{m \to \alpha -}g(m) - \lim \limits_{m \to \alpha +} g(m)=1$ 을 만족시키는 양수 $\alpha$ 가 오직 하나 존재하고, 이 $\alpha$ 에 대하여 점 $(b, \; f(b))$ 는 직선 $y=\alpha x$ 와 곡선 $y=f(x)$ 의 교점이다. $ab^2 = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이고, ..