수악중독

좌표평면에 원 $x^2+y^2-10x=0$ 이 있다. 이 원의 현 중에서 점 $\rm A(1, \;0)$ 을 지나고 그 길이가 자연수인 현의 개수는? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 정답 ③

좌표평면 위의 점 $\rm A(0, \;1)$ 과 점 $ \rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\rm P$ 는 제$1$사분면에 있다.(나) $x$ 축 위의 어떤 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overline{\rm AQ}+\overline{\rm PQ}\le6$ 이다. 위의 조건을 만족시키는 모든 점 $\rm P$ 가 나타내는 영역을 $D$ 라 하자. 영역 $D$ 에 속하는 점 $(x, \;y)$ 에 대하여 $x+y$ 의 최댓값이 $p+q \sqrt{2}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는 정수이다.) 정답 $5$

그림과 같이 점 $\rm A(4, \;3)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$ 인 원 $x^2+y^2=10$ 과 두 점 $\rm P, \;Q$ 에서 만난다. $\overline{\rm AP}=3$ 일 때, 직선 $l$ 의 기울기는?① $\dfrac{23}{7}$ ② $\dfrac{24}{7}$ ③ $\dfrac{25}{7}$ ④ $\dfrac{26}{7}$ ⑤ $\dfrac{27}{7}$ 정답 ②

이차함수 $f(x)=k(x-1)^2-4k+2$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$의 꼭짓점을 $\rm A$ 라 하고, 이 곡선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ㄱ. $k=1$ 일 때, $\overline{\rm OA} = \sqrt{5}$ 이다.ㄴ. $0$ 이 아닌 실수 $k$ 의 값에 관계없이 곡선 $y=f(x)$ 가 항상 지나는 점은 $2$ 개이다.ㄷ. $0$ 이 아닌 실수 $ k$ 의 값에 관계없이 직선 $ \rm AB$ 는 항상 점 $(-3, \;2)$ 를 지난다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ, ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

좌표평면에 두 원 $$C_1 : x^2+y^2=1, \;\; C_2:x^2+y^2-8x+6y+21=0$$ 이 있다. 그림과 같이 $x$ 축 위의 점 $\rm P$ 에서 원 $C_1$ 에 그은 한 접선의 접점을 $\rm Q$, 점 $\rm P$ 에서 원 $C_2$ 에 그은 한 접선의 접점을 $\rm R$ 라 하자. $\overline{\rm PQ}= \overline{\rm PR}$ 일 때, 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표는? ① $\dfrac{19}{8}$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $\dfrac{21}{8}$ ④ $\dfrac{11}{4} $ ⑤ $\dfrac{23}{8}$ 정답 ④

좌표평면에서 두 점 ${\rm A}(4, \;a), \;{\rm B}(2, \;1)$ 을 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\rm A', \; B'$ 이라 하고, 두 직선 $\rm AB, \; A'B'$ 의 교점을 $\rm P$ 라 하자. 두 삼각형 $\rm APA', \; BPB'$ 의 넓이의 비가 $9:4$ 일 때, $a$ 의 값은? (단, $a>4$) ① $5$ ② $\dfrac{11}{2}$ ③ $6$ ④ $\dfrac{13}{2}$ ⑤ $7$ 정답 ②

다항식 $P(x)$ 를 $x-2$ 로 나누었을 때의 몫이 $Q(x)$, 나머지는 $3$ 이고, 다항식 $Q(x)$ 를 $x-1$ 로 나누었을 때의 나머지는 $2$ 이다. $P(x)$를 $(x-1)(x-2)$ 로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$ 라 하자. $R(3)$ 의 값은? ① $5$ ② $7$ ③ $9$ ④ $11$ ⑤ $13$ 정답 ①

그림과 같이 평평한 지면 위에 있는 두 지점 $\rm A, \; B$ 사이의 거리는 $6 \rm m$ 이다. 두 지점 $\rm A, \; B$ 에서 각각 $4.5 \rm m, \; 1.5m$ 떨어진 $\rm C$ 지점에 지면과 수직으로 높이가 $3 \rm m$ 인 기둥이 세워져 있다. $\rm A$ 지점에서 쏘아올린 공이 포물선 모양으로 날아 기둥의 꼭대기에서 지면에 수직으로 $3 \rm m$ 위의 점 $\rm P$ 지점을 지나 $\rm B$ 지점에 떨어졌다. 이 공이 가장 높이 올라갔을 때의 지면으로부터의 높이는? (단, 포물선의 축은 지면에 수직이고, 공의 크기와 기둥의 굵기는 생각하지 않는다.)① $\rm 7.5m$ ② $8\rm m$ ③ $\rm 8.5 m$ ④ $\rm 9m$ ⑤ $\rm 9.5..

이차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=0$ 의 두 근은 $-2$ 와 $4$ 이다.(나) $5 \le x \le 8$ 에서 이차함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $80$ 이다. $f(-5)$ 의 값을 구하시오. 정답 $54$

다음은 $x$ 에 대한 다항식 $ax^9+bx^8+1$ 이 다항식 $x^2-x-1$ 로 나누어떨어지기 위한 정수 $a, \; b$ 의 값을 구하는 과정의 일부이다. 방정식 $ x^2-x-1$ 의 두 근을 $p, \;q$ 라 하면 $$p+q=1, \;\; pq=-1$$ 이다.따라서 $p^2+q^2=(가) , \;\; p^4+q^4=(나)$ 이다. $x$ 에 대한 다항식 $ax^9+bx^8+1$ 이 $x^2-x-1$ 로 나누어 떨어지면 $$ ap^9+bp^8=-1 \cdots\cdots①$$ $$ aq^9+bq^8=-1 \cdots\cdots ②$$ 이다. ①, ②의 양변에 각각 $q^8, \;p^8$ 을 곱하여 정리하면 $$ap+b=-q^8 \cdots\cdots③$$ $$ aq+b=-p^8\cdots\c..