수악중독

세 유리수 $a, \;b, \;c$ 에 대하여 $x$ 에 대한 이차방정식 $$ax^2+\sqrt{3}bx+c=0$$ 의 한 근이 $\alpha=2+\sqrt{3}$ 이다. 다른 한 근을 $\beta$ 라 할 때, $\alpha + \dfrac{1}{\beta}$ 의 값은? ① $-4$ ② $-2\sqrt{3}$ ③ $0$ ④ $2\sqrt{3}$ ⑤ $4$ 정답 ③

복소수 $z=a+bi$ ($a, \; b$ 는 $0$ 이 아닌 실수)에 대하여 $z^2-z$ 가 실수일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $i=\sqrt{-1}$ 이고, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ㄱ. $\overline{z^2-z}$ 는 실수이다.ㄴ. $z+\overline{z}=1$ ㄷ. $z \overline{z} > \dfrac{1}{4}$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

복소수 $z=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}i}$ 에 대하여 $z^n=1$ 이 되도록 하는 자연수 $n$ 의 최솟값은? (단, $i=\sqrt{-1}$이다.) ① $2$ ② $4$ ③ $ 6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 정답 ④