수악중독

한 변의 길이가 \(5\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 두 변 \(\rm AB,\; AD\) 가 평면 \(\pi\) 와 이루는 예각의 크기를 각각 \(\alpha,\; \beta\) 라 하자. \(\sin \alpha = \dfrac{3}{5},\; \sin \beta = \dfrac{\sqrt{7}}{5}\) 일 때, □\(\rm ABCD\) 의 평면 \(\pi\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. 정답 \(15\)

공간 위에 \( \overline{\rm AB}=\sqrt{5} ,\; \overline{\rm BC}=\sqrt{10} ,\; \overline{\rm CA} = \sqrt{13}\) 를 만족하는 세 점 \(\rm A,\;B,\;C\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 구를 \(S_1\), 선분 \(\rm BC\) 를 지름으로 하는 구를 \(S_2 \), 선분 \(\rm CA\) 를 지름으로 하는 구를 \(S_3\) 라고 할 때, \(S_1 ,\; S_2 ,\; S_3\) 의 교점으로부터 평면 \(\rm ABC\) 까지의 거리가 \(\dfrac{q}{p}\) (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 정수) 라고 한다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 \(13\)

그림과 같이 평면 위에 정삼각형 \(\rm ABC\) 와 선분 \(\rm AC\) 를 지름으로 하는 원 \(\rm O\) 가 있다. 선분 \(\rm BC\) 의 점 \(\rm D\) 를 \(\angle \rm DAB = \dfrac{\pi}{15}\) 가 되도록 정한다. 점 \(\rm X\) 가 원 \(\rm O\) 위를 움직일 때, 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm AD},\; \overrightarrow{\rm CX}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm CX}\) 의 값이 최소가 되도록 하는 점 \(\rm X\) 를 점 \(\rm P\) 라 하자. \(\angle {\rm ACP}= \dfrac{q}{p} \pi\) ..

아래 그림과 같이 정오각형 \(\rm ABCDE\) 에서 \(\overrightarrow{\rm AB} = \overrightarrow{a},\;\; \overrightarrow{\rm AE} = \overrightarrow{b}\) 라 할 때, \(\overrightarrow{\rm AC}\) 를 \( \overrightarrow{a} ,\; \overrightarrow{b}\) 로 나타내면? ① \( \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) ② \( \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}\) ③ \( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \overright..

좌표공간에서 네 점 \(\rm A_0 ,\; A_1 ,\; A_2 ,\; A_3\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\left | \overrightarrow{\rm A_0 A_2} \right | = \left | \overrightarrow{\rm A_1 A_3} \right |=2\) (나) \(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm A_0 A_3} \cdot \left ( \overrightarrow {\rm A_0 A_{\it k}} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm A_0 A_3} \right ) = \cos \dfrac{3-k}{3}\pi \;\; (k=1,\;2,\;3)\) \(\left | \overrightarrow{\rm A_1 ..

평면 위에 서로 다른 두 점 \(\rm A,\;B\) 가 주어져 있다. 같은 평면 위에 있는 점 \(\rm P\) 가 \(\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm BP} = \left | \overrightarrow{\rm AB} \right | ^2\) 을 만족할 때, 점 \(\rm P\) 가 존재하는 도형의 모양은? ① 한 점 ② 직선 ③ 원 ④ 타원 ⑤ 평면 위의 임의의 점 정답 ③

평면 위의 두 벡터 \(\overrightarrow{a},\; \overrightarrow{b}\) 는 서로 수직이고, \( \left | \overrightarrow {a} \right | = \left | \overrightarrow{b} \right | = 1\) 이다. 또, 평면 위의 임의의 벡터 \(\overrightarrow {x}\) 에 대하여 \[\overrightarrow{p} = \left ( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x} \right ) \overrightarrow{a},\;\;\;\;\overrightarrow{q}=\left ( \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} \right ) \overr..

오른쪽 그림과 같이 정오각형 \(\rm ABCDE\) 에서 \(\overrightarrow {\rm AB}=\overrightarrow {a},\; \overrightarrow {\rm BC} = \overrightarrow {b}\) 라 할 때, \(\overrightarrow {\rm AE}\) 를 \(\overrightarrow {a},\;\overrightarrow{b}\) 로 표현하려고 한다. 다음 풀이 과정에 있는 ( )의 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 쓴 것은? 대각선 \(\rm AC\) 와 \(\rm BE\) 의 교점을 \(\rm P\) 라 하자. 삼각형 \(\rm ACE\) 와 삼각형 \(\rm PEA\) 는 닮은 삼각형 이므로 정오각형의 한 변의 길이를 \(a\), \..

그림과 같이 \(\overline{ \rm AB} = \overline {\rm AD} =8\) 이고, \(\angle{\rm DAB}=60^o\) 인 평행사변형 \(\rm ABCD\) 가 있다. 변 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm M\)이라 할 때, 변 \(\rm AD\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 와 변 \(\rm BC\) 위를 움직이는 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\angle {\rm PMQ} =90^o\) 가 성립한다. 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm MP},\; \overrightarrow{\rm QD} \) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm MP} \cdot \overrightarrow{\rm QD}\) 의 값이 최소일 때, 두 벡터 \(\..

좌표공간의 점 \({\rm A}(2,\;0,\;-4)\) 와 구 \(x^2 +(y-4)^2 +(z-6)^2 =9\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 에 대하여 \( \left | 2 \overrightarrow{\rm AP} - \overrightarrow {\rm OA} \right |\) 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 52