수악중독

좌표공간의 세 점 ${\rm A}(-1, \; 0, \; 6)$, ${\rm B}(2, \; - \sqrt{3}, \; 0)$, ${\rm C}(3, \; 0, \; 0)$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 $$\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |=2, \;\; \left | \overrightarrow{\rm CQ} \right | = 2\sqrt{3}, \;\; \overrightarrow{\rm BC} \cdot \overrightarrow{\rm CQ}=6$$ 을 만족시킨다. $\left | \overrightarrow{\rm PQ} \right |$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $12$

좌표공간에서 원점 $\rm O$ 와 점 $\rm A(4, \; 0, \; 0)$ 에 대하여 평면 $x+y+\sqrt{2}z=0$ 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right |$ 는 $9$ 이하의 자연수이다.(나) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm AP} = 6$ $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OP}$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 정답 $86$

중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 있다. 양수 $x$ 에 대하여 원 위의 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 가 $$x \overrightarrow{\rm OA} + 5 \overrightarrow{\rm OB} + 3 \overrightarrow{\rm OC}= \overrightarrow{0}$$ 를 만족시킨다. $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}$ 의 값이 최대일 때, 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이를 $S$ 라 하자. $50S$ 의 값을 구하시오. 정답 $60$

좌표평면에서 넓이가 $9$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 의 세 변 $\rm AB, \; BC, \; CA$ 위를 움직이는 점을 각각 $\rm P, \; Q, \; R$ 라 할 때, $$\overrightarrow{\rm AX} = \dfrac{1}{4} \left ( \overrightarrow{\rm AP} + \overrightarrow{\rm AR} \right ) + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm AQ}$$ 를 만족시키는 점 $\rm X$ 가 나타내는 영역의 넓이가 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $53$

좌표공간에서 점 ${\rm A}(0, \; 0, \; 2)$ 와 구 $x^2 +y^2 +z^2 =1$ 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 는 $$\left | \overrightarrow{\rm AP} \right | =2, \;\; \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | = \sqrt{3}$$ 을 만족시킨다. $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $8(M-m)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $90$

한 모서리의 길이가 $6$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 와 밑면의 중심이 $\rm O$ 인 반구가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 꼭짓점 $\rm A, \; B$ 는 반구 위에 있고 선분 $\rm AB$ 는 반구의 밑면과 평행하다.(나) 두 꼭짓점 $\rm C, \; D$ 는 반구의 밑면 위에 있고 점 $\rm O$ 는 선분 $\rm CD$ 의 중점이다. 점 $\rm C$ 를 지나고 반구의 밑면에 수직인 직선이 반구와 만나는 점을 $\rm H$ 라 하고, 선분 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 할 때, $\overrightarrow{\rm AM} \cdot \overrightarrow{\rm HM}$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$

좌표공간에 평면 $\alpha : 2x+y+2z-9=0$ 과 구 $S:(x-4)^2+(y+3)^2+z^2=2$ 가 있다. $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | \le 3 \sqrt{2}$ 인 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm P$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ}$ 의 최댓값이 $a+b\sqrt{2}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단 점 $\rm O$ 는 원점이고, $a, \; b$ 는 유리수이다.) 정답 $21$

좌표평면에서 점 ${\rm A}(0, \; 12)$ 와 양수 $t$ 에 대하여 점 ${\rm P}(0, \; t)$ 와 점 $\rm Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm PQ} = 0$ (나) $\dfrac{t}{3} \le \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | \le \dfrac{t}{2}$ $6 \le t \le 12$ 에서 $ \left | \overrightarrow{\rm AQ} \right |$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $Mm$ 의 값은? ① $12\sqrt{2}$ ② $14\sqrt{2}$ ③ $16\sqrt{2}$ ④ $18\sqrt{..

좌표공간에서 점 ${\rm A} \left ( 3, \; \dfrac{1}{2}, \; 2 \right )$와 평면 $z=1$ 위의 세 점 $\rm P_1, \; P_2, \; P_3$ 이 $$\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP_1} = \dfrac{11}{3} , \; \; \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP_2} = 1, \;\; \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP_3} = - \dfrac{7}{4}$$ 을 만족시킨다. 점 $(0, \; k, \; 0)$ 을 지나고 방향벡터가 $(1, \; -6, 0)$ 인 직선을 $l$ 이라..

그림과 같이 평면 위에 $\overline{\rm OA}=2\sqrt{11}$ 을 만족하는 두 점 $\rm O, \; A$ 와 점 $\rm O$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 $\sqrt{5}, \; \sqrt{14}$ 인 두 원 $C_1, \; C_2$ 가 있다. 원 $C_1$ 위의 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 원 $C_2$ 위의 점 $\rm R$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 양수 $k$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm PQ}=k \overrightarrow{\rm QR}$(나) $\overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AR} = 0$ 이고 $\overline{\rm PQ}:\overline{\rm AR..