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목록(9차) 기하와 벡터 문제 풀이/벡터 (149)
수악중독
중심이 \(\rm O\) 인 원에 내접하는 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 선분 \(\rm AB,\;BC,\;CD\) 의 중점을 각각 \(\rm P,\;Q,\;R\) 이라 하고 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게 중심을 \(\rm G\) 라 하자. 원을 포함하는 평면 위의 한 점 \(\rm H\) 가 \[\overrightarrow{\rm AH}\cdot \overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm BH}\cdot \overrightarrow{\rm CA}=0\] 을 만족시킬 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\overrightarrow{\rm OQ} \cdot \overrightarrow{\rm PR}=0\) ㄴ. \( \overright..
좌표공간 위에 방정식 \[x^2+(y-3)^2=1 \;\;(z\; 는\; 실수)\] 가 나타내는 도형을 \(S\) 라 하자. 도형 \(S\) 와 \(xy\) 평면이 만나서 생기는 도형을 \(C_1\), 도형 \(S\) 와 평면 \(3y-4z=0\) 이 만나서 생기는 도형을 \(C_2\) 라 하자. 두 도형 \(C_1, \;C_2\) 의 중심을 각각 \(\rm O_1, \; O_2\) 라 하고 도형 \(C_1, \; C_2\) 위의 임의의 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 내적 \(\overrightarrow{\rm O_1P} \cdot \overrightarrow{\rm O_2Q}=\dfrac{1}{2}\) 을 만족할 때, 선분 \(\rm PQ\) 의 ..
넓이가 \(90\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내부의 한 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(5 \overrightarrow{\rm PA}+2 \overrightarrow{\rm PB}+2 \overrightarrow{\rm PC} = \overrightarrow{0}\) 일 때, \(\triangle \rm PAB\) 의 넓이는? ① \(5\) ② \(10\) ③ \(15\) ④ \(20\) ⑤ \(25\) 정답 ④
그림과 같이 \(\angle \rm A=75^{\rm o}, \; \angle \rm C=45^{\rm o} , \; \overline{\rm AB}=4\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 변 \(\rm AC\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 에 대하여 점 \(\rm Q\) 가 \(\vec{\rm AP}+\vec{\rm AB} = 3 \vec{\rm AQ}\) 를 만족시킬 때, 점 \(\rm Q\) 가 나타내는 도형의 길이는? ① \(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\) ② \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) ④ \(\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{6}}{6}\) 정답 ④
두 직선 \(l_1 \;:\; \dfrac{x}{-6} = \dfrac{y-1}{9} = \dfrac{z}{-3},\;\; l_2 \;:\; \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-4}{-3}=z\) 를 포함하는 평면의 방정식을 구하시오. 정답 \(3x-y-9z+1=0\)
좌표공간에서 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =4\) 위를 움직이는 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 있다. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 평면 \(y=4\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P_1 ,\; Q_1\) 이라 하고, 평면 \(y+\sqrt{3}z+8=0\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P_2 , \; Q_2\) 라 하자. \(2 \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | ^2 - \left | \overrightarrow{\rm P_1 Q_1} \right | ^2 - \left | \overrightarrow{\rm P_2 Q_2} \right | ^2\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(24\)
좌표공간의 세 평면 \(x-3y+z-2=0\), \(ax-y+2z+3=0\), \(2x+by-z-1=0\) 이 한 직선을 공유하도록 두 상수 \(a,\;b\) 의 값을 정할 때, \(7b-2a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\)
좌표공간에서 두 구 \(x^2 +(y-1)^2 +z^2 =1\), \( (x-k)^2 + (y-1)^2 +z^2 =1\) 의 평면 \(x+y-z=-10\) 위로의 정사영이 오직 한 점만을 공유할 때, \(k^2\) 의 값은? ① \(6\) ② \(9\) ③ \(12\) ④ \(18\) ⑤ \(24\) 정답 ①
\(\triangle {\rm ABC}\) 의 외심을 \(\rm O\), 수심을 \(\rm H\) 라고 할 때, \( \overrightarrow{\rm OH} =x \overrightarrow{\rm OA} + y \overrightarrow{\rm OB} + z \overrightarrow{\rm OC}\) 를 만족하는 실수 \(x,\;y,\;z\) 에 대하여 \(x+y+z\) 의 값을 구하시오. 정답 \(3\) [기하와 벡터 질문과 답변/벡터] - 기하와 벡터_벡터_수심벡터_난이도 상
사면체 \(\rm OABC\) 의 모서리 \(\rm OA, \; OB, \; OC\) 를 \(1:1 ,\; 2:1, \; 3:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm P, \;Q,\;R\) 라 하자. 점 \(\rm C\) 와 삼각형 \(\rm PQR\) 의 무게중심 \(\rm G\) 를 지나는 직선이 평면 \(\rm OAB\) 와 만나는 점을 \(\rm H\) 라 할 때, \(\overrightarrow{\rm OH} = \alpha \; \overrightarrow{\rm OA} + \beta \; \overrightarrow{\rm OB}\) 로 나타낼 수 있다. 두 실수 \(\alpha, \; \beta\) 의 합 \(\alpha + \beta\) 의 값은? ① \(\dfrac{11}{27}\) ②..