수악중독

좌표공간에서 직선 \(g\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(g\) 의 방향벡터 \(\vec{u}=(a,\;b,\;c)\) 에 대하여 \(abc \ne 0\) 이다. (나) 직선 \(g\) 는 원점을 지나는 직선과 점 \((1, \; -1,\; 1)\) 에서 수직으로 만난다. 점 \({\rm A}(0,\;0,\;1)\) 과 직선 \(g\) 사이의 거리의 최솟값은? ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ② \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) ③ \(\sqrt{3}\) ④ \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) 정답 ②

좌표공간에서 평행한 두 직선 \(g_1 : x=0,\; -y+2=\dfrac{z-1}{2},\; \;g_2\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(g_1\) 위의 한 점과 직선 \(g_2\) 사이의 거리는 \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) 이다. (나) 원점 \(\rm O\) 와 직선 \(g_2\) 사이의 거리는 \(\dfrac{5}{2}\) 이다. 원점 \(\rm O\) 에서 두 직선 \(g_1, \; g_2\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm H_1 , \; H_2\) 라 할 때, 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OH_1}, \; \overrightarrow{\rm OH_2}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm OH_1} \cdot \overri..

좌표공간에서 직선 \(\dfrac{x-1}{2}=-y=z-2\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm A}(1,\;2,\;-2)\) 에 대하여 \(\left | \overrightarrow{\rm OP} - \overrightarrow{\rm OA} \right |\) 가 최소일 때, 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OA}, \; \overrightarrow{\rm OP}\) 가 이루는 각의 크기를 \(\theta\) 라 하자. \(\cos \theta\) 의 값은? (단, \(0 \leq \theta \leq \pi\)) ① \(-\dfrac{\sqrt{3}}{9}\) ② \(-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\) ③ \(-\dfra..

좌표평면 위의 점 \({\rm A} (1, \;\sqrt{3} )\) 에 대하여 다음을 만족시키는 점 \(\rm P\) 의 집합을 \(\rm S\) 라 하자. \[\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | =1,\;\; \overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OA} \geq \sqrt{2}\] 점 \({\rm B} \left ( - \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \; \dfrac{1}{2} \right )\) 과 집합 \(S\) 에 속하는 점 \(\rm P\) 에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OB}, \; \overrightarrow{\rm OP}\) 의 내적 \(\overrightarrow..

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 \(y^2 =12x\) 의 초점을 \(\rm F\), 준선과 \(x\) 축의 교점을 \(F'\) 이라 하고, 포물선 위의 점 \(\rm P\) 에서 준선에 내린 수선의 발을 \(\rm H\) 라 하자. \[\overrightarrow{\rm PF} \cdot \overrightarrow{\rm PF'} \leq \overrightarrow{\rm PF'} \cdot \overrightarrow{\rm PH} \] 를 만족시키는 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm OP\) 의 길이의 최댓값은? (단 \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(2\sqrt{10}\) ② \(\sqrt{42}\) ③ \(3\sqrt{5}\) ④ \(4\sqrt{3}\) ⑤ \(5\sq..

좌표공간 위의 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm A} \left ( 0,\; -\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \) 에 대하여 점 \(\rm B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( \left | \overrightarrow {\rm OB} \right | = \dfrac{1}{2} \left | \overrightarrow{\rm OA} \right | \) (나) \(\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}}{\left | \overrightarrow{\rm OA} \right | \left | \overrightarrow{\rm O..

좌표공간에서 정사면체 \(\rm ABCD\) 의 한 면 \(\rm ABC\) 는 평면 \(2x-y+z=4\) 위에 있고 꼭짓점 \(\rm D\) 는 평면 \(x+y+z=3\) 위에 있다. 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심의 좌표가 \((1,\;1,\;3)\) 일 때, 정사면체 \(\rm ABCD\) 의 한 모서리의 길이는? ① \(2\sqrt{2}\) ② \(3\) ③ \(2\sqrt{3}\) ④ \(4\) ⑤ \(3\sqrt{2}\) 정답 ②

좌표공간에서 삼각형 \(\rm ABC\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이는 \(6\) 이다. (나) 삼각형 \(\rm ABC\) 의 \(yz\) 평면 위로의 정사영의 넓이는 \(3\) 이다. 삼각형 \(\rm ABC\) 의 평면 \(x-2y+2z=1\) 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은? ① \(2\sqrt{6}+1\) ② \(2\sqrt{2}+3\) ③ \(3\sqrt{5}-1\) ④ \(2\sqrt{5}+1\) ⑤ \(3\sqrt{6}-2\) 정답 ①

그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 \(\rm OABC-DEFG\) 에서 \({\rm A}(4,\;0,\;0),\; {\rm C}(0,\;4,\;0),\;{\rm D}(0,\;0,\;4)\) 이다. 이 정육면체가 평면 \(x+y+2z=6\) 에 의하여 잘린 단면의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(S^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 294

좌표공간에서 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =50\) 이 두 평면 \[\alpha \;: \; x+y+2z=15\] \[\beta \; : \; x-y-4 \sqrt{3} z=25 \] 와 만나서 생기는 원을 각각 \(C_1 ,\; C_2\) 라 하자. 원 \(C_1\) 위의 점 \(\rm P\) 와 원 \(C_2\) 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{{\rm PQ}} ^2\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 40