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목록(8차) 수학1 질문과 답변 (851)
수악중독
집합 \(U= \{ x \; |\; x \) 는 \(30 \) 이하의 자연 \( \} \)의 부분집합 \(A=\{ a_1 , \; a_2 , \; a_3 ,\; \cdots, \; a_{15} \}\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 \(A\) 의 임의의 두 원소 \(a_i, \; a_j \;(i \ne j)\) 에 대하여 \(a_i +a_j \ne 31\) (나) \(\sum \limits_{i=1}^{15} a_i =264\) \(\dfrac{1}{31} \sum \limits_{i=1}^{15} a_i ^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(184\)
함수 \(f(x)\) 가 닫힌 구간 \([0, \;2]\) 에서 \( f(x)= |x-1|\) 이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(x+2)\) 를 만족시킬 때, 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=x+f(x)\] 라 하자. 자연수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 \(a, \;b\) 의 순서쌍 \((a, \;b)\) 의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{15} a_n\) 의 값을 구하시오. (가) \(n \leq a \leq n\) (나) \(0
두 등차수열 \(\{a_n\}. \; \{b_n\}\) 의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 각각 \(S_n ,\; T_n\) 이라 하자. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(\dfrac{S_n}{T_n} = \dfrac{3n-1}{5n+11}\) 일 때, \(\dfrac{a_6}{b_6}\) 의 값은? ① \(\dfrac{13}{28}\) ② \(\dfrac{29}{61}\) ③ \(\dfrac{16}{33}\) ④ \(\dfrac{35}{71}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ③
두 함수 \(f(x)=2^x-\left [ 2^x \right ] \) 와 \(g(x)=2^{x-k}\) 그래프의 교점의 개수가 \(3\) 이 되도록 하는 \(k\) 값의 범위가 \(\alpha < k \leq \beta\) 일 때, \(2^{\alpha+\beta}\) 의 값을 구하시오. (단, \([x]\) 는 \(x\) 를 넘지 않는 최대 정수이다.) 정답 \(20\)
좌표평면 위에 점 \({\rm P}(x, \; y)\; (-1 \leq x \leq 1,\; -1 \leq y \leq 1)\) 이 있다. 곡선 \(y=x^2+1\) 위의 점 중에서 \(y\) 축에 있지 않은 임의의 점을 \(\left ( a,\; a^2+1 \right )\) 이라 하자. 점 \({\rm P}(x, \;y)\) 와 점 \(\left ( a,\; a^2+1 \right )\) 에 대하여 행렬 \(\left ( \matrix {x & y \\ a & a^2+1} \right )\) 이 역행렬을 가질 때, 점 \(\rm P\) 가 나타내는 도형의 넓이는? ① \(2\) ② \(\dfrac{5}{2}\) ③ \(3\) ④ \(\dfrac{7}{2}\) ⑤ \(4\) 정답 ③ 위의 영역이 그려지..
\(1\) 보다 큰 자연수 \(n\) 에 대하여 좌표평면 위의 점 \({\rm P}(n, \;0)\) 에서 원 \(x^2+y^2=1\) 에 그은 두 접선이 원과 만나는 접점을 각각 \(\rm A,\;B\) 라 하자. 삼각형 \(\rm PAB\) 의 넓이를 \(f(n)\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{f(n)}{\sqrt{n^2-1}}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(1\)
그림과 같이 직선 \(l\) 위의 점 \(\rm O_1\) 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(2\) 인 반원 \(H_1\) 이 있다. 반원 \(H_1\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm O_1P\) 와 직선 \(l\) 이 \(60^{\rm o}\) 의 각을 이룰 때, 반원 \(H_1\) 위의 점 \(\rm P\) 에서의 접선을 \(m\) 이라 하고, 직선 \(l, \;m\) 의 교점을 \(\rm A\) 라 하자. 지름이 선분 \(\rm O_1A\) 위에 있고 반원 \(H_1\) 과 직선 \(m\) 에 동시에 접하는 반원을 \(H_2\) 라 하고, 두 반원 \(H_1, \; H_2\) 와 직선 \(m\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 반원 \(H_2\) 의..
양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표를 \(f(x)\), 가수를 \(g(x)\) 라 할 때, 자연수 \(n \; (n \geq 2)\) 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 자연수 \(a\) 의 최솟값을 \(a_n\) 이라 하자. (가) \(f(a)=n-1\) (나) \(g(a)>g(na)\) \(a_2 +a_3 + \dfrac{a_5}{a_4}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(392\)
좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 직선 \(y=x+n\) 과 \(n\) 개의 원 \(x^2+y^2=2k^2\; (k=1,\;2,\;3,\; \cdots,\;n)\) 의 서로 다른 교점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{20} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(230\)