수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 $3$ 인 정삼각형 $\rm A_1B_1C_1$ 의 무게중심을 $\rm A_2$, 점 $\rm A_2$ 를 지나는 원과 두 변 $\rm A_1B_1, \; A_1C_1$ 의 접점을 각각 $\rm B_2, \; C_2$ 라 하자. 호 $\rm A_2B_2$, 선분 $\rm B_2B_1$, 선분 $\rm B_1A_2$ 와 호 $\rm A_2C_2$, 선분 $\rm C_2C_1$, 선분 $\rm C_1 A_2$ 로 둘러싸인 부분의 모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 

그림 $R_1$ 에서 삼각형 $\rm A_2B_2C_2$ 의 무게중심을 $\rm A_3$, 점 $\rm A_3$ 를 지나는 원과 두 변 $\rm A_2B_2, \; A_2C_2$ 의 접점을 각각 $\rm B_3, \; C_3$ 라 하자. 그림 $R_1$ 에 호 $\rm A_3B_3$, 선분 $\rm B_3B_2$, 선분 $\rm B_2A_3$ 와 호 $\rm A_3C_3$, 선분 $\rm C_3C_2$, 선분 $\rm C_2 A_3$ 로 둘러싸인 부분의  모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 $R_2$ 이라 하자. 

그림 $R_2$ 에서 삼각형 $\rm A_3B_3C_3$ 의 무게중심을 $\rm A_4$, 점 $\rm A_4$ 를 지나는 원과 두 변 $\rm A_3B_3, \; A_3C_3$ 의 접점을 각각 $\rm B_4, \; C_4$ 라 하자. 그림 $R_2$ 에 호 $\rm A_4B_4$, 선분 $\rm B_4B_3$, 선분 $\rm B_3A_4$ 와 호 $\rm A_4C_4$, 선분 $\rm C_4C_3$, 선분 $\rm C_3 A_4$ 로 둘러싸인 부분의  모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 $R_3$ 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림을 $R_n$, 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

① $\dfrac{1}{16} \left (21\sqrt{3}-4 \pi \right )$          ② $\dfrac{1}{16} \left (7\sqrt{3}-2 \pi \right )$          ③ $\dfrac{1}{8} \left (21\sqrt{3}-4 \pi \right )$          

④ $\dfrac{1}{8} \left (7\sqrt{3}-2 \pi \right )$          ⑤ $\dfrac{1}{8} \left (21\sqrt{3}-2 \pi \right )$          

정답 ①