수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 \(3\) 인 정삼각형 \(\rm A_1B_1C_1\) 의 무게중심을 \(\rm A_2\), 점 \(\rm A_2\) 를 지나는 원과 두 변 \(\rm A_1B_1, \; A_1C_1\) 의 접점을 각각 \(\rm B_2, \; C_2\) 라 하자. 호 \(\rm A_2B_2\), 선분 \(\rm B_2B_1\), 선분 \(\rm B_1A_2\) 와 호 \(\rm A_2C_2\), 선분 \(\rm C_2C_1\), 선분 \(\rm C_1 A_2\) 로 둘러싸인 부분의 모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 

그림 \(R_1\) 에서 삼각형 \(\rm A_2B_2C_2\) 의 무게중심을 \(\rm A_3\), 점 \(\rm A_3\) 를 지나는 원과 두 변 \(\rm A_2B_2, \; A_2C_2\) 의 접점을 각각 \(\rm B_3, \; C_3\) 라 하자. 그림 \(R_1\) 에 호 \(\rm A_3B_3\), 선분 \(\rm B_3B_2\), 선분 \(\rm B_2A_3\) 와 호 \(\rm A_3C_3\), 선분 \(\rm C_3C_2\), 선분 \(\rm C_2 A_3\) 로 둘러싸인 부분의  모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 \(R_2\) 이라 하자. 

그림 \(R_2\) 에서 삼각형 \(\rm A_3B_3C_3\) 의 무게중심을 \(\rm A_4\), 점 \(\rm A_4\) 를 지나는 원과 두 변 \(\rm A_3B_3, \; A_3C_3\) 의 접점을 각각 \(\rm B_4, \; C_4\) 라 하자. 그림 \(R_2\) 에 호 \(\rm A_4B_4\), 선분 \(\rm B_4B_3\), 선분 \(\rm B_3A_4\) 와 호 \(\rm A_4C_4\), 선분 \(\rm C_4C_3\), 선분 \(\rm C_3 A_4\) 로 둘러싸인 부분의  모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 \(R_3\) 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림을 \(R_n\), 그림 \(R_n\) 에 색칠되어 있는 있는 부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n\) 의 값은?

① \(\dfrac{1}{16} \left (21\sqrt{3}-4 \pi \right )\)          ② \(\dfrac{1}{16} \left (7\sqrt{3}-2 \pi \right )\)          ③ \(\dfrac{1}{8} \left (21\sqrt{3}-4 \pi \right )\)          

④ \(\dfrac{1}{8} \left (7\sqrt{3}-2 \pi \right )\)          ⑤ \(\dfrac{1}{8} \left (21\sqrt{3}-2 \pi \right )\)          

정답 ①