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목록(8차) 수학1 질문과 답변 (851)
수악중독
그림과 같이 한 변의 길이가 \(8\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 세 선분 \(\rm AB, \; BC, \; CA\) 의 중점을 각각 \(\rm D, \; E,\; F\) 라 하고 두 정삼각형 \(\rm BED, \; ECF\) 를 그린 후 마름모 \(\rm ADEF\) 에 중심이 \(\rm O\) 인 원을 내접하도록 그린다. 원과 두 선분 \(\rm DE, \; EF\) 의 접점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 할 떄, 사각형 \(\rm OPEQ\) 를 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자.그림 \(R_1\) 에서 새로 그려진 두 개의 정삼각형의 내부에 그림 \(R_1\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\) ..
다음 [단계]에 따라 반지름의 길이가 같은 원들을 외접하도록 그린다. [단계 1] \(3\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.[단계 2] 의 아래에 \(3\) 개의 원을 외접하게 그려서 를 얻는다.[단계 3] 의 아래에 \(4\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.\[\vdots\][단계 \(m\)] 의 아래에 \((m+1)\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다. (\(m \ge 2)\) 에 그려진 원의 모든 접점의 개수를 \(a_n\) \((n=1, \;2., \;3, \; \cdots)\) 이라 하자. 예를 들어, \(a_1=3,\; a_2=9\) 이다. \(a_{10}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(165\)
그림과 같이 세 로그함수 \(f(x)=k \log x\), \(g(x)=k^2 \log x\), \(h(x)=4k^2 \log x\) 의 그래프가 있다. 점 \(\rm P(2, \;0)\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 두 곡선 \(y=g(x), \; y=h(x)\) 와 만나는 점의 \(y\) 좌표를 각각 \(p ,\; q\) 라 하자. 직선 \(y=p\) 와 곡선 \(y=f(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm Q}(a, \;p)\), 직선 \(y=q\) 와 곡선 \(y=g(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm R}(b, \;q)\) 라 하자. 세 점 \(\rm P, \;Q, \;R\) 가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 \(a, \; b\) 의 곱 \(ab\) 의 값을 구하시오. (단, ..
모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 = \dfrac{1}{4}\) 이고 \[ (n+1)a_n=a_{n+1}(3n-2a_n) \; ( n \ge 1)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식의 양변을 \(a_n a_{n+1}\) 로 나누면 \(\dfrac{n+1}{a_{n+1}}=\dfrac{3n-2a_n}{a_n}\)이다. \(b_n=\dfrac{n}{a_n}\) 이라 하면 \(b_{n+1}=3b_n + (가) \)이고, \(b_{n+1}-1=3(b_n-1)\) 이다.\(b_1=4\) 이므로 \(b_n= (나)\) \(b_n = (나) +1\)이다. 그러므로 \(a_n=\dfrac{n}{(나)+1} \; (n\ge 1)\)이다. 위의 (가)에..
좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 그림과 같이 곡선 \(y=x^2\) 과 직선 \(y=\sqrt{n}x\) 가 제1사분면에서 만나는 점을 \({\rm P}_n\) 이라고 하자. 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 직선 \(y=\sqrt{n}x\) 에 수직인 직선이 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \({\rm Q}_n {\rm R}_n\) 이라 하자. 삼각형 \(\rm OQ_{\it n}R_{\it n}\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{5} \dfrac{2S_n}{\sqrt{n}}\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(80\) ② \(85\) ③ \(90\) ④ \(95\) ⑤ \(100\) 정답 ③
지수부등식 \(\left ( 2^x -32 \right ) \left ( \dfrac{1}{3^x} - 27 \right )>0\) 을 만족시키는 모든 정수 \(x\) 의 개수는? ① \(7\) ② \(8\) ③ \(9\) ④ \(10\) ⑤ \(11\) 정답 ①
어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가 흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다. 접속 케이블의 저항을 \(R\), 스피커의 임피던스를 \(r\), 전송 손실을 \(L\) 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. \[L=10 \log \left ( 1+\dfrac{2R}{r} \right )\] (단, 전송 손실의 단위는 \(\rm dB\), 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스의 단위는 \(\omega\) 이다.)이 앰프에 임피던스가 \(8\) 인 스피커를 저항이 \(5\) 인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 \(a\) 인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 \(2\..
자연수 \(n\) 에 대하여 그림과 같이 두 점 \({\rm A}_n (n, \;0), \; {\rm B}_n (0, \; n+1) \) 이 있다. 삼각형 \(\rm A_{\it n}B_{\it n}\) 에 내접하는 원의 중심을 \({\rm C}_n\) 이라 하고, 두 점 \(\rm B_{\it n}\) 과 \(\rm C_{\it n}\) 을 지나는 직선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm P_{\it n}\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\rm OP_{\it n}}}{n}\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.)① \(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\) ② \(\sqrt{2}-1\) ③ \(2-\sqrt{2}..
그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 모양의 종이 \(\rm ABCD\) 에서 각 변의 중점을 각각 \(\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1\) 이라 하고 \(\overline{\rm A_1 B_1}, \; \overline{\rm B_1C_1}, \; \overline{\rm C_1D_1}, \; \overline{\rm D_1A_1}\) 을 접는 선으로 하여 네 점 \(\rm A, \; B, \; C, \; D\) 가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 \(S_1\) 이라 하자.\(S_1\) 에서 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 의 각 변의 중점을 각각 \(\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2\) 이라 하고 \(\overline{\..