등차수열의 일반항과 합_난이도 중 (2026년 7월 고3 20번)

 

 

등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 수열 $\{b_n\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여
$$b_n=\begin{cases} 2(S_n - na_n) & \text{($n$이 홀수인 경우)} \\ (n-1)a_n & \text{($n$이 짝수인 경우)} \end{cases}$$
를 만족시킨다. 다음은 $b_2=2$일 때, $\sum \limits_{n=1}^{20} b_n$의 값을 구하는 과정이다.

 

수열 $\{a_n\}$이 등차수열이므로 자연수 $n$에 대하여 $$S_n=\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \quad \cdots \cdots \text{ (1)}$$
(i) $n = 2k-1$ ($k$는 자연수)일 때, (1)에 의하여 $$\begin{aligned}b_{2k-1}&=2 \times \left\{ \dfrac{(2k-1)(a_1 + a_{2k-1})}{2} - (2k-1)a_{2k-1} \right\}\\&=(\;\boxed{\text{( 가 )}}\;) \times (a_1 - a_{2k-1})\end{aligned}$$ (ii) $n=2k$ ($k$는 자연수)일 때, $$b_{2k}=(2k-1)a_{2k}$$ (i), (ii)에 의하여 $$b_{2k-1} + b_{2k}=(\;\text{(가)}\;) \times (a_1 - a_{2k-1}) + (2k-1)a_{2k}=(\;\boxed{\text{ (나) }}\;)$$ 이다. 따라서 $$\sum \limits_{n=1}^{20} b_n = (b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \cdots + (b_{19} + b_{20}) = (\;\boxed{\text{ (다) }}\;)$$ 이다.

 

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k)$, $g(k)$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$라 할 때, $f(2)+g(3)+p$의 값을 구하시오.

 

정답 $213$