수악중독

어느 숙소에는 그림과 같이 객실 번호가 적힌 $10$개의 객실이 있다.  관광객 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 포함한 $5$명의 관광객이 다음 규칙에 따라 $10$개의 객실 중에서 각자 서로 다른 한 객실에 숙박하는 경우의 수는?  (가) $5$명의 관광객 중 어느 관광객도 객실 번호가 $102$, $204$인 객실에는 숙박하지 않는다.(나) $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 숙박하는 객실 번호의 차는 $1$ 또는 $100$이다.(다)  $\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$가 숙박하는 객실 번호의 차는 $4$보다 크고 $100$이 아니다.① $800$          ② $840$          ③ $880$          ④ $..

최고차항의 계수가 $1$인 서로 다른 두 삼차다항식 $f(x)$, $g(x)$와 최고차항의 계수가 $1$인 서로 다른 두 이차다항식 $\mathrm{P_1}(x)$, $\mathrm{P_2}(x)$는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 다항식 $f(x) + g(x)$는 세 다항식 $\mathrm{P_1}(x)$, $\mathrm{P_2}(x)$, $x^2-5x+6$으로 각각 나누어떨어진다.(나) 두 다항식 $\mathrm{P_1}(x)$, $\mathrm{P_2}(x)$는 각각 다항식 $f(x)-g(x)$로 나누어떨어진다. $f(1) = g(1)$이고 $f(2) = 1$일 때, $g(3)$의 값은?① $-4$          ② $-2$          ③ $0$          ④ $2$          ..

전체집합 $U = \{x \mid x \leq 20 \text{ 이하의 자연수}\}$의 부분집합 $A$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 명제 '모든 $x\in U$에 대하여 $\{x,\; x^2+1\} \not\subset A$이다.'는 거짓이다.(나) 자연수 $x$에 대한 두 조건 $p, \; q$가 $\begin{aligned} p &: x\text{는 } \dfrac{1}{2}x \in A\text{인 }20\text{ 이하의 자연수이다.} \\[5pt] q &: x\text{는 } x \in A \text{ 인 } 20 \text{ 이하의 짝수이다.} \end{aligned}$일 때, $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이다. $1 \notin A$일 때, 집합 $A$의 모든 원소의 합의 최..

두 실수 $a$, $b$ ($b > 0$)에 대하여 함수 $f(x) =\begin{cases} x^2 + ax + b & (x \leq 0) \\-x^2 + ax - b & (x > 0) \end{cases}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2) = p + q\sqrt{2}$이다. $p - q$의 값은? (단, $p$, $q$는 유리수이다.)  (가) $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$의 개수는 $1$이다.(나) 모든 정수 $k$에 대하여 $f(k)f(k+1) \geq 0$이다. ① $-1$          ② $3$          ③ $7$          ④ $11$          ⑤ $15$더보기정답 ②

두 집합 $A=\{1, \; 3, \; 5, \; 7, \; 9\}, \quad B=\{2, \; 5, \; 9\}$에 대하여 집합 $A \cap B$의 모든 원소의 합을 구하시오. 더보기정답 $14$A \cap B = \{5, \; 9\}$\therefore 5+9=14$

두 함수 $f(x)=x+3$, $g(x)=x^2+1$에 대하여 $(g \circ f)(9)$의 값을 구하시오. 더보기정답 $145$f(9)=9+3=12$g(f(9))=g(12)=12^2+1=144+1=145$

두 실수 $a, \; b$에 대하여 이차방정식 $x^2+ax+b=0$의 한 근이 $2+3i$일 때, $a^2+b^2$의 값을 구하시오. $\left ( \text{단, }i=\sqrt{-1} \right )$ 더보기정답 $185$이차방정식 켤레근에 의하여 나머지 한 근은 $2-3i$(2+3i)+(2-3i)=4=-a, \quad \therefore a=-4$(2+3i)(2-3i)=4+9=13=b, \quad \therefore b=13$$\therefore a^2+b^2=(-4)^2+13^2=16+169=185$

무리함수 $y=\sqrt{2(x-1)}+a$의 역함수의 그래프가 두 점 $(5, \; 1)$, $(b, \; 3)$을 지날 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수이다.) 더보기정답 $12$무리함수 $y=\sqrt{2(x-1)}+a$의 그래프는 두 점 $(1, \; 5), \; (3, \; b)$를 지난다.$5=0+a, \quad \therefore a=5$b=\sqrt{2 \times 2}+5=7$\therefore a+b=5+7=12$

좌표평면 위의 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{A}(1, \; 2)$에 대하여 선분 $\mathrm{OA}$를 $2:1$로 외분하는 점을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{B}(5, \; 5)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 한 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. $\overline{\mathrm{PQ}}^2$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하시오.  더보기정답 $11$

두 정수 $a, \; b$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $x^3+ax^2+bx-3a=0$은 $a$를 포함한 서로 다른 세 정수를 근으로 갖고, $x$에 대한 방정식 $x^3+bx^2-2ax-2ab=0$은 정수인 근을 오직 하나만 갖는다. $a-b$의 값을 구하시오.  더보기정답 $3$