수악중독

실수 $t \; \left (\sqrt{3} \lt t \lt \dfrac{13}{4} \right )$ 에 대하여 두 함수 $$f(x)=\left | x^2-3 \right |-2x, \quad g(x)=-x+t$$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 네 점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; x_4$ 라 하자. $x_4-x_1=5$ 일 때, 닫힌구간 $[x_3, \; x_4]$ 에서 두 함수 $y=f(x), \; y=g(x)$ 의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는 $p-q\sqrt{3}$ 이다. $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $54$

그림과 같이 곡선 $y=2^{x-m}+n \; (m \gt 0, \; n \gt 0)$ 과 직선 $y=3x$ 가 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 만날 때, 점 $\mathrm{B}$ 를 지나며 직선 $y=3x$ 에 수직인 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{CA}$ 가 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하면 점 $\mathrm{D}$ 는 선분 $\mathrm{CA}$ 를 $5:3$ 으로 외분하는 점이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $20$ 일 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$ 의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm{B}$ 의 $x$ 좌표보다 작다.) 더보기 정..

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)-x-f(t)+t$$ 라 할 때, 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $h(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to -1} \{ h(t)-h(-1)\} = \lim \limits_{t \to 1} \{h(t)-h(1)\}=2$ (나) $\displaystyle \int_0^\alpha f(x) dx =\int_0^\alpha |f(x)| dx $ 를 만족시키는 실수 $\alpha$ 의 최솟값은 $-1$ 이다. (다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\dfrac{d}{dx} \displ..

한 개의 주사위를 네 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 $a, \; b, \; c, \; d$ 라 하자. 네 수$a, \; b, \; c, \; d$ 의 곱 $a\times b \times c \times d$ 가 $27$ 의 배수일 확률은? ① $\dfrac{1}{9}$ ② $\dfrac{4}{27}$ ③ $\dfrac{5}{27}$ ④ $\dfrac{2}{9}$ ⑤ $\dfrac{7}{27}$ 더보기 정답 ①

이산확률변수 $X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. $\mathrm{E} \left (X^2 \right ) = a+5$ 일 때, $b-a$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{1}{12}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{12}$ 더보기 정답 ②

주머니 $\mathrm{A}$ 에는 흰 공 $1$ 개, 검은 공 $2$ 개가 들어 있고, 주머니 $\mathrm{B}$ 에는 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $3$ 개가 들어 있다. 주머니 $\mathrm{A}$ 에서 임의로 $1$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\mathrm{B}$ 에 넣은 후 주머니 $\mathrm{B}$ 에서 임의로 $3$ 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 주머니 $\mathrm{B}$ 에서 꺼낸 $3$ 개의 공 중에서 적어도 한 개가 흰 공일 확률은? ① $\dfrac{6}{7}$ ② $\dfrac{92}{105}$ ③ $\dfrac{94}{105}$ ④ $\dfrac{32}{35}$ ⑤ $\dfrac{14}{15}$ 더보기 정답 ④

숫자 $0, \; 0, \; 0, \; 1, \; 1, \; 2, \; 2$ 가 하나씩 적힌 $7$ 장의 카드가 있다. 이 $7$ 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 이웃하는 두 장의 카드에 적힌 수의 곱이 모두 $1$ 이하가 되도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) ① $14$ ② $15$ ③ $16$ ④ $17$ ⑤ $18$ 더보기 정답 ⑤

$1$ 부터 $5$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 $5$ 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 공을 임의로 한 개씩 $5$ 번 꺼내어 $n \; (1 \le n \le 5)$ 번째 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $a_n$ 이라 하자. $a_k \le k$ 를 만족시키는 자연수 $k \; (1 \le k \le 5)$ 의 최솟값이 $3$ 일 때, $a_1+a_2=a_4+a_5$ 일 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) ① $\dfrac{4}{19}$ ② $\dfrac{5}{19}$ ③ $\dfrac{6}{19}$ ④ $\dfrac{7}{19}$ ⑤ $\dfrac{8}{19}$ 더보기 정답 ①

두 연속확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \le X \le 4$, $0 \le Y \le 4$ 이고, $X$ 와 $Y$ 의 확률밀도함수는 각각 $f(x), \; g(x)$ 이다. 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 의 그래프는 그림과 같다. 확률변수 $Y$ 의 확률밀도함수 $g(x)$ 는 닫힌구간 $[0, \; 4]$ 에서 연속이고 $0 \le x \le 4$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{g(x)-f(x)\}\{g(x)-a\}=0 \; (a\text{는 상수})$$ 를 만족시킨다. 두 확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\mathrm{P}(0 \le Y \le 1) \lt \mathrm{P}(0 \le X \le 1)$ (나) $\mat..

집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X \to X$ 의 개수를 구하시오. (가) $f(7)-f(1)=3$ (나) $5$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $f(n) \le f(n+2)$ 이다. (다) $\dfrac{1}{3} |f(2)-f(1)|$ 과 $\dfrac{1}{3} \sum \limits_{k=1}^4 f(2k-1)$ 의 값은 모두 자연수이다. 더보기 정답 $150$