확률밀도함수의 특징_난이도 중상 (2023년 7월 전국연합 고3 확통 29번)

 

 

두 연속확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \le X \le 4$, $0 \le Y \le 4$ 이고, $X$ 와 $Y$ 의 확률밀도함수는 각각 $f(x), \; g(x)$ 이다. 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 의 그래프는 그림과 같다. 

 

 

확률변수 $Y$ 의 확률밀도함수 $g(x)$ 는 닫힌구간 $[0, \; 4]$ 에서 연속이고 $0 \le x \le 4$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{g(x)-f(x)\}\{g(x)-a\}=0 \; (a\text{는 상수})$$ 를 만족시킨다. 두 확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) $\mathrm{P}(0 \le Y \le 1) \lt \mathrm{P}(0 \le X \le 1)$

(나) $\mathrm{P} (3 \le Y \le 4) \lt \mathrm{P}(3 \le X \le 4)$

 

$\mathrm{P}(0 \le Y \le 5a)=p-q\sqrt{2}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 자연수이다.)

 

정답 $24$