부등식과 미분 & 정적분 & 정적분으로 정의된 함수_난이도 상 (2023년 7월 전국연합 고3 22번)

 

 

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=f(x)-x-f(t)+t$ 라 할 때, 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $h(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\lim \limits_{t \to -1} \{ h(t)-h(-1)\} = \lim \limits_{t \to 1} \{h(t)-h(1)\}=2$ 

(나) $\displaystyle \int_0^\alpha f(x) dx =\int_0^\alpha |f(x)| dx$ 를 만족시키는 실수 $\alpha$ 의 최솟값은 $-1$ 이다.

(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\dfrac{d}{dx} \displaystyle \int_0^x \{ f(u) -ku\}du \ge 0$ 이 되도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값은 $f' \left (\sqrt{2} \right )$ 이다. 

 

$f(6)$ 의 값을 구하시오. 

 

정답 $182$