수악중독

아래 [그림1]은 옆면이 윗면과 밑면에 수직이고 속이 비어 있는 원기동을 밑면에 평행하지 않은 비스듬한 평면 \(\alpha\) 로 자른 상태를 나타낸 것이다. 이때, 평면 \(\alpha\) 와 원기둥의 옆면이 만나는 교선 \(e\) 의 모양은 타원이 된다. 이제 [그림2]와 같이 원기둥의 반지름과 반지름이 같은 반구 \(2\) 개를 원기둥의 위와 아래에서 반구의 평평한 면이 원기둥의 밑면에 평행인 상태가 유지되도록 하면서 두 반구가 각각 평면 \(\alpha\) 에 접할 때까지 밀어 넣는다. [그림2]에서 점 \(\rm P,\;Q\) 는 각각 교선 \(e\) 상의 점 중에서 가장 아래에 있는 점과 가장 위에 있는 점을 나타내고, 사각형 \(\rm ABCD\) 는 점 \(\rm P\) 와 \(\rm Q..

\(xyz\) 공간에 있어, 평면 \(z=0\) 위의 중심이 원점이고 반지름 \(2\) 인 원을 밑면으로 하고, 점 \((0,\;0,\;1)\) 을 꼭지점으로 하는 원뿔을 \(\rm A\) 라 하자. 또, 평면 \(z=0\) 위의 점 \((1,\;0,\;0)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm H\), 평면 \(z=1\) 위의 점 \((1,\;0,\;1)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm K\) 라 하자. \(\rm H\) 와 \(\rm K\) 를 밑면으로 하는 원기둥을 \(\rm B\) 라 하고, 원뿔 \(\rm A\) 와 원기둥 \(\rm B\) 의 공통부분을 \(\rm C\) 라 하자. \(0 \le t \le 1\) 인 실수 \(t\) 에 대하여, ..

회전체의 부피를 구하는 대표적인 방법으로 와셔(washer method)가 있다. 우리나라 교육과정 중 수2에 나오는 회전체의 부피를 구하는 방법이 와셔법이다. 위의 색칠된 영역을 세로축의 둘레로 회전 시킨 회전체의 부피를 구할 때, 회전축에 수직이 되게 자른 단면을 회전시켜 입체의 부피를 얻게 된다. 그런 단면의 넓이들을 모두 더하면(적분하면) 입체의 부피가 된다는 것이다. 그런데 원통껍질법(Cylindrical Shell Method)는 이와 접근법이 조금 다른다. 회전 입체를 회전축에서 가장 바깥쪽으로 부터 한 껍질씩 벗겨가면서 그 껍질의 넓이를 다 더하는 식이다. 위의 그림을 보면 와셔법과는 조금 다른 것을 확인할 수 있다. 오히려 회전축에 평행하게 입체를 잘라 속이 비어있는 원통 모양을 만든 후..

그림과 같이 길이가 24인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원 \(\rm O\) 가 있다. 반지름 \(\rm OA\) 위의 한 점 \(\rm P\) 를 지나는 직선이 반원의 호와 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\overline {\rm PO}=6,\;\angle{\rm QPB}=\theta\), 부채꼴 \(\rm OBQ\) 의 넓이를 \(f(\theta)\) 라 할 때, \(\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} {\Large {{f\left( \theta \right)} \over \theta }}\) 의 값을 구하시오. (단, \(\theta\) 의 단위는 라디안이다.) 정답 108

두 인공위성 \(\rm A,\;B\) 가 지구의 중심으로부터 각각 1만\(\rm km\), 2만\(\rm km\) 떨어진 채 원형 궤도를 유지하며 지구의 적도 상공을 각각 1시간 동안에 \(\Large \frac {\pi}{4}\) 라디안, \(\Large \frac{\pi}{3}\) 라디안의 각속도로 같은 방향으로 돌고 있다. 현재 \(\rm A\) 와 \(\rm B\) 는 그림과 같이 지구를 기준으로 정반대쪽에 위치하고 있다. 두 인공위성 \(\rm A\) 와 \(\rm B\) 사이의 거리가 처음으로 2만\(\rm km\) 이하로 되는 때는 지금으로부터 몇 시간 후인가? \(\left ( 단, \cos {\dfrac{5}{12}}\pi = {\dfrac{1}{4}}로\;계산한다. \right) \) ..

[수학 질문과 답변/심화미적 질문과 답변] - 심화미적_미분_역함수의 미분법_난이도 중

[수학/수능수학] - 쌍곡선의 접선과 점근선에 관한 성질 [수학/수능수학] - 쌍곡선의 접선과 점근선 [수학/수능수학] - 쌍곡선 점근선까지의 거리의 곱은 일정 [수학/수능수학] - 쌍곡선 접선의 개수 [수학/수능수학] - 쌍곡선의 반사 성질 [수학/수능수학] - 직교하는 두 접선의 교점의 자취 (쌍곡선)

\(\angle \rm AOB = \theta\) 라고 하면 \(\sin \theta = \dfrac{2ab}{a^2 +b^2}\) 로부터 \(\triangle {\rm ABC} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{ab \sqrt{a^2 +b^2}}{|bx_1 - ay_1|} \times \dfrac{ab \sqrt{a^2 +b^2}}{|bx_1 + ay_1|} \times \dfrac{2ab}{a^2 +b^2} = \dfrac{a^3 b^3}{\left | a^2 b^2 \right |} = |ab|\) 로 일정 [수학/수능수학] - 쌍곡선의 접선과 점근선 [수학/수능수학] - 쌍곡선 점근선까지의 거리의 곱은 일정 [수학/수능수학] - 쌍곡선 접선의 개수 [수학/수능수학] - 쌍곡선의 ..

보충설명) \(\overline{\rm AB}=\left | x_2 - x_1 \right | \sqrt{1+m^2}\) 이 되는 이유를 묻는 분들이 계셔서 올려 드립니다. [수학/수능수학] - 직교하는 두 접선의 교점의 자취 (타원) [수학/수능수학] - 타원의 반사 성질 [수학/수능수학] - 원과 타원의 접선과 접점 [수학/수능수학] - 타원의 두 초점과 접선 사이의 거리 [수학/수능수학] - 원과 타원의 관계 [수학/수능수학] - 타원의 매개 변수 방정식 [수학/수능수학] - 이차곡선의 극선의 방정식

오른쪽 그림과 같이 \(x\) 축과 곡선 \(y=e^{-x^2} \) 에 동시에 접하고 있는 직사각형 \(\rm ABCD\) 가 있다. 이때, 직사각형 \(\rm ABCD\) 의 넓이의 최댓값은? ① \(\dfrac{\sqrt{2e}}{e}\) ② \(\dfrac{\sqrt{2e}}{2}\) ③ \(\sqrt{e}\) ④ \(e\) ⑤ \(\sqrt{2}e\) 정답 ①